물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자

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물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/09/18 15:10] – created minwoo물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/11/15 17:03] (current) – minwoo
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-====== Kagome 격자위의 이징 모형 ======+====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ======
  
-Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. (참고문헌 1의 그림 1.)+Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다.
  
-실선에 해당하는 것이 kagome 격자 구조이며, 끊어져 있는 선은 벌집(honeycomb) 격자 구조에 해당한다. +{{:물리:kagome.png?300|}}
- +
-{{:물리:kagome_lattice.png?300|}}+
  
 이러한 Kagome 격자에서, 다음과 같은 해밀토니안을 갖는 이징 모형을 고려하자. 이러한 Kagome 격자에서, 다음과 같은 해밀토니안을 갖는 이징 모형을 고려하자.
Line 18: Line 16:
 Kagome 격자에 대해서 정확한 해와 다이어그램을 얻은 논문은 첫 번째 참고문헌에 해당한다.  Kagome 격자에 대해서 정확한 해와 다이어그램을 얻은 논문은 첫 번째 참고문헌에 해당한다. 
  
-다만, (일종의 근사법으로서) Husimi tree 구조에서의 이징 모형에 대해서 푼 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다.+====== Husimi 트리 위의 이징 모형 ====== 
 + 
 +다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. 
 + 
 +Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. ($\gamma-1$개의 삼각형을 각 노드에 붙이는 방식으로 구성되며, 그림에서는 $\gamma=2$이다.) 
 + 
 +{{:물리:husimi.png?300|}}
  
-$$ \\ $$ 
 우선, Husimi tree 구조에서의 '국소적 자화량(local magnetization)'을 다음과 같이 쓰자. 우선, Husimi tree 구조에서의 '국소적 자화량(local magnetization)'을 다음과 같이 쓰자.
  
Line 31: Line 34:
  
 $$  $$ 
-g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma^{(2)})]^{\gamma-1}+g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}
 $$ $$
  
-여기서 $t^{(j)}$란 sub-tree의 $j$ 번째에 연결되어 있는 구조에서의 $\sigma_1$을 제외한 모든 스핀을 가리키는 표현이다.+여기서 $\sigma_1^{(j)}$은 sub-tree 중 ($\sigma_0$을 제외한) $j$ 번째에 연결되어 있는 스핀을 가리키는 표현이다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-그렇다면, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다.+이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다.
  
-$$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} $$+$$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma} $$
  
 따라서,  따라서, 
  
 $$ $$
-\langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}+\langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{\gamma}
 $$ $$
 로 쓸 수 있다. 로 쓸 수 있다.
Line 60: Line 63:
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-\langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}}{Z} \\+\langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma}}{Z} \\
  
-&= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\  - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\  + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ +&= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\  - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{\gamma}}{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\  + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{\gamma}} \\ 
-&= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ -g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ +g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ +&= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ -g_n(-)^{\gamma}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ +g_n(-)^{\gamma}} \\ 
-&= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} +&= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} 
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
Line 77: Line 80:
  
 $$  $$ 
-g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma^{(2)})]^{\gamma-1}+g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}
 $$ $$
  
Line 134: Line 137:
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
  
-따라서 우리는 $x_n$에 대하여 다음의 map을 얻은 것이다.+따라서 우리는 $z_n$에 대하여 다음의 map을 얻은 것이다.
  
 $$z_n=f(z_{n-1}), \quad f(z) = \frac{a^2b^2cz^{2(\gamma-1)}+2az^{\gamma-1}+c}{a^2z^{2(\gamma-1)} + 2acz^{\gamma-1} +b^2}$$ $$z_n=f(z_{n-1}), \quad f(z) = \frac{a^2b^2cz^{2(\gamma-1)}+2az^{\gamma-1}+c}{a^2z^{2(\gamma-1)} + 2acz^{\gamma-1} +b^2}$$
  
 +$$ \\ $$
 +만약 각각의 삼각형에 대한 상호작용(three-spin interaction)만 존재하는 모형이라면, map은 아래와 같이 쓰인다.
 +
 +$$ f(z) = \frac{cz^{2(\gamma-1)}+2z^{\gamma-1}+c}{z^{2(\gamma-1)} + 2cz^{\gamma-1} +1}$$
 +
 +===== Kagome 격자 ($\gamma=2$) =====
 +
 +위에서 얻은 map에서 $\gamma=2$를 대입한 경우는 kagome 격자에서의 이징 모형을 잘 근사하는 경우이다.
 +
 +그 경우, map은 아래와 같다.
 +
 +$$  f(z) = \frac{cz^2 +2z +c}{z^2 + 2cz  +1}$$
 +
 +이러한 map에 대해서 $z=f(z)$를 풀면 고정점(fixed point)을 얻을 수 있고, (직접 풀이하거나 Mathematica를 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있다.
 +
 +{{:물리:kagome_fixed_points.png?400|}}
 +
 +$$ \\ $$
 +$c=e^{2\beta J_3} $으로서 $c$는 음수가 아니므로 $-c$는 양수가 아니다.
 +
 +이때, $z_n=\frac{g_n(+)}{g_n(-)}$의 $g_n(\sigma)$는 지수함수(exponential)의 합의 형태로 표현된다는 것에 유의하면
 +
 +$z=f(z)$의 해는 (음수가 아닌) 양수임을 알 수 있다. 
 +
 +따라서, 위의 3가지 고정점 중 $z=1$만이 유일하게 가능한 경우이다.
 +
 +$$ \\ $$
 +그러한 $z=1$이 안정적인(stable) 고정점인지, 아래와 같이 확인해보면
 +
 +{{:물리:kagome_map.png?550|}}
 +
 +(초기의 $z$값에 무관하게) map을 수 차례 거친다면 $z=1$의 고정점으로 가게 된다.
 +
 +$$ \\ $$
 +이를 통해, $$
 +\begin{align}
 +\langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} 
 +\end{align}
 +$$
 +
 +에서 $\gamma=2$와 $a=1$, $z^*=1$ 을 대입하면 $\langle \sigma_0 \rangle =0$인 것을 확인할 수 있다.
 +
 +$$\\$$
 +따라서, kagome 격자 위의 이징 모형의 해밀토니안이 각각의 삼각형에 대한 상호작용(three-spin interaction)만 포함한다면
 +
 +자화량의 기댓값이 $0$이라는 것을 위와 같은 근사를 통해 알아낼 수 있다.
 +
 +$$ \\ $$
 ====== 참고문헌 ====== ====== 참고문헌 ======
  
-1.Exact results for lattice models with pair and triplet interactions, X N Wu and F Y Wu, 1989.+1. Exact results for lattice models with pair and triplet interactions, X N Wu and F Y Wu, 1989.
    
-2. Phase diagrams of Ising models on Husimi trees II. Pair and multisite interaction systems, 1992.+2. Phase diagrams of Ising models on Husimi trees II. Pair and multisite interaction systems, James L. Monroe, 1992.
  
 3. Thermodynamic approach to three-site antiferromagnetic Ising model in chaotic region, N.S. Ananikian and S.K. Dallakian, 2018. 3. Thermodynamic approach to three-site antiferromagnetic Ising model in chaotic region, N.S. Ananikian and S.K. Dallakian, 2018.
  
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