물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자

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물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/09/21 15:38] – minwoo물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/11/15 17:03] (current) – minwoo
Line 1: Line 1:
 ====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ====== ====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ======
  
-Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. (참고문헌 1의 그림 1.)+Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다.
  
-실선에 해당하는 것이 kagome 격자 구조이며, 끊어져 있는 선은 벌집(honeycomb) 격자 구조에 해당한다. +{{:물리:kagome.png?300|}}
- +
-{{:물리:kagome_lattice.png?300|}}+
  
 이러한 Kagome 격자에서, 다음과 같은 해밀토니안을 갖는 이징 모형을 고려하자. 이러한 Kagome 격자에서, 다음과 같은 해밀토니안을 갖는 이징 모형을 고려하자.
Line 22: Line 20:
 다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. 다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다.
  
-Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. (참고문헌 2의 그림 2.(B), $\gamma-1$개의 삼각형을 각 노드에 붙이는 방식으로 구성되며, 그림에서는 $\gamma=3$이다.)+Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. ($\gamma-1$개의 삼각형을 각 노드에 붙이는 방식으로 구성되며, 그림에서는 $\gamma=2$이다.)
  
-{{:물리:husimi_tree.png?300|}}+{{:물리:husimi.png?300|}}
  
-$$ \\ $$ 
 우선, Husimi tree 구조에서의 '국소적 자화량(local magnetization)'을 다음과 같이 쓰자. 우선, Husimi tree 구조에서의 '국소적 자화량(local magnetization)'을 다음과 같이 쓰자.
  
Line 37: Line 34:
  
 $$  $$ 
-g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}+g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}
 $$ $$
  
Line 45: Line 42:
 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다.
  
-$$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} $$+$$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma} $$
  
 따라서,  따라서, 
  
 $$ $$
-\langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}+\langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{\gamma}
 $$ $$
 로 쓸 수 있다. 로 쓸 수 있다.
Line 66: Line 63:
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-\langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}}{Z} \\+\langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma}}{Z} \\
  
-&= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\  - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\  + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ +&= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\  - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{\gamma}}{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\  + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{\gamma}} \\ 
-&= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ -g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ +g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ +&= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ -g_n(-)^{\gamma}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ +g_n(-)^{\gamma}} \\ 
-&= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} +&= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} 
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
Line 83: Line 80:
  
 $$  $$ 
-g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}+g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1,2}\sigma_1^{(j)} \Bigg) \Bigg][g_{n-1}(\sigma_1^{(1)})]^{\gamma-1}[g_{n-1}(\sigma_1^{(2)})]^{\gamma-1}
 $$ $$
  
Line 180: Line 177:
 이를 통해, $$ 이를 통해, $$
 \begin{align} \begin{align}
-\langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} +\langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} 
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
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  • Last modified: 2023/09/21 15:38
  • by minwoo