주기적인 경계조건을 갖는 1차원 이징 사슬을 생각했을 때, 계의 해밀토니안을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\tilde{H}=-J\sum\limits_{i=1}^{N}\sigma_{i}\sigma_{i+1}-\tilde{h}\sum\limits_{i=1}^{N}\sigma_{i}$$ 이 때, $\sigma_{i}=\pm1$이고 사슬의 주기성에 의해 $\sigma_{N+1}=\sigma_{1}$이 된다. $-\beta(=-\frac{1}{k_{B}T})$를 해밀토니안에 곱하여 차원이 없는 해밀토니안 $H$를 정의하면

\begin{equation}\notag \begin{split} H=-\beta\tilde{H}&=K\sum\limits_{i=1}^{N}\sigma_{i}\sigma_{i+1}+h\sum\limits_{i=1}^{N}\sigma_{i}\qquad (K=\beta J,\, h=\beta\tilde{h}) \\ &=K(\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\cdots+\sigma_{N}\sigma_{1})+h(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{N})\\ &=K(\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\cdots+\sigma_{N}\sigma_{1})+\frac{h}{2}\left[(\sigma_{1}+\sigma_{2})+(\sigma_{2}+\sigma_{3})+\cdots+(\sigma_{N}+\sigma_{1})\right] \\ &=\sum\limits_{i=1}^{N}\left[K\sigma_{i}\sigma_{i+1}+\frac{h}{2}(\sigma_{i}+\sigma_{i+1})\right] \end{split} \end{equation} 이 된다. 이 경우, 분배함수는 $$Z_{c}=\underset{\{a_{i}\}}{\mathrm{Tr}}e^{H}=\sum\limits_{\{\sigma_{i}\}=\pm1}\exp\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}\left[K\sigma_{i}\sigma_{i+1}+\frac{h}{2}(\sigma_{i}+\sigma_{i+1})\right]\right\}$$ 로 쓰이고, 자유도에 대한 합은 $$\sum\splits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}=\sum\splits_{{\sigma_{2}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{4}}=\pm1}\cdots\sum\splits_{{\sigma_{N}}=\pm1}\left[\sum\splits_{{\sigma_{1}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{3}}=\pm1} \cdots\sum\splits_{{\sigma_{N-1}}=\pm1}e^{H}\right]$$ 로 나타낼 수 있다. $H$에서 $\sigma_{1}$을 포함하는 항을 보기 위해 $i=1$인 경우와 $i=N$인 경우를 더해보면 $$K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})$$이 되고 여기서 $\sigma_{1}$이 포함된 항에 대해서만 생각해보자. $\sigma_{1}$의 가능한 모든 값을 합하면 $$\sum\limits_{\sigma_{1}=\pm1}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}}=2\cosh\left[K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h}\right]$$ 이 된다. $\sigma^{2n}=1,\,\sigma^{2n+1}=\sigma$임을 이용하여 식을 좀 더 정리해보면 \begin{equation}\notag \sum\limits_{\sigma_{1}\pm1}}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}=2e^{\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}\cosh\left[2K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\right] \label{renorm} \end{equation} 로 나타낼 수 있다. 여기서 $$K^{\prime}=\frac{1}{4}\ln\frac{\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)}{\cosh^{2}h},$$ $$h^{\prime}=h+\frac{1}{2}\ln\frac{\cosh(2K+h)}{\cosh(2K-h)},$$ $$g=\frac{1}{8}\ln\left[16\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)\cosh^{2}h\right]$$ 이다. $\sigma_{3},\sigma_{5},\ldots,\sigma_{N-1}$이 각각 위와 같은 결과를 가지므로 \begin{equation}\notag \sum\limits_{\sigma_{1},\sigma_{3},\ldots,\sigma_{N-1}}e^{H}=\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\} \end{equation} 을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}$에 대입하면 \begin{equation}\notag \sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm}e^{H}=\sum\limits_{\sigma_{2}=\pm1}\sum\limits_{\sigma_{4}=\pm1}\cdots\sum\limits_{\sigma_{N}=\pm1}\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\} \end{equation} 이 된다. 결과식의 형태를 보면 짝수번째 스핀에 대한 합이 분배함수 $Z_{c}$와 닮은 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 이것은 처음의 물리계가 짝수번째 스핀들이 자기장 $h^{\prime}$ 속에서 결합계수 $K^{\prime}$로 가장 가까이 있는 스핀들과 상호작용하는 물리계로 치환될 수 있음을 보여준다. 그러므로 처음의 분배함수는 \begin{equation}\notag Z_{c}(N,K,h)=e^{Ng(N,h)}Z_{c}\left(\frac{N}{2},K^{\prime},h^{\prime}\right) \end{equation} 로 나타내어질 수 있다. 위와 똑같은 과정이 계속될 수 있으므로 \begin{equation}\notag \begin{split} Z_{c}(N,K,h)&=e^{Ng(N,h)}Z_{c}\left(\frac{N}{2},K^{\prime},h^{\prime}\right) \\ &=e^{Ng(K,h)+\frac{N}{2}g(K^{\prime},h^{\prime})}Z_{c}\left(\frac{N}{4},K^{\prime\prime},h^{\prime\prime}\right) \\ &=e^{Ng(K,h)+\frac{N}{2}g(K^{\prime},h^{\prime})+\frac{N}{4}g(K^{\prime\prime},h^{\prime\prime})}Z_{c}\left(\frac{N}{8},K^{\prime\prime\prime},h^{\prime\prime\prime}\right) \\ &=\cdots \end{split} \end{equation} 로 나타낼 수 있다. 이런 관계를 통해 자유에너지에 대한 식 \begin{equation}\notag -\beta G(N,K,h)=\ln Z_{c}(N,K,h)=Ng(K,h)+\ln Z_{c}\left(\frac{1}{2}N,K^{\prime},h^{\prime}\right) \end{equation} 이 아래와 같이 정리될 수 있다. \begin{equation}\notag \begin{split} -\frac{\beta G(N,K,h)}{N}&=f(K,h) \\ &=g(K,h)+\frac{1}{2}g(K^{\prime},h^{\prime})+\frac{1}{4}g(K^{\prime\prime},h^{\prime\prime})+\cdots \\ &=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{j}g(K_{j},h_{j}) \end{split} \end{equation} 이제 위 결과가 수렴하는지 알아보기 위해 자기장 $h$와 결합계수 $K$가 어떻게 변화해가는지 그 흐름을 살펴보자. $h=0$인 경우를 생각해보면 이 경우, $K^{\prime}$은 위 식으로부터 $$K^{\prime}=\frac{1}{2}\ln\cosh2K\leq K$$ 임을 알 수 있다. 등호는 $K=0,\,K=\infty$에 성립하며 이 경우는 고정점이 된다. $K$의 초기값이 고정점이 아닌 경우, 즉 $0$이 아닌 유한한 값인 경우에서 변환과정을 계속해가면 $K$이 계속해서 작아지는 것을 알 수 있다. 계속해서 $h=0$인 경우의 $g$와 $f$의 값을 살펴보자. $g$의 값은 $$g(K,0)=\frac{1}{2}\ln2+\frac{1}{4}\ln(\cosh2K)$$ 이고 $K$의 값이 작아질수록 우변의 두 번째 항이 $0$에 가까워진다는 것을 알 수 있다.

To be continued….

• M. Plischke and B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, 2nd ed.(World Scientific, Singapore, 1994)