물리:이징_사슬

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물리:이징_사슬 [2018/03/08 17:44] – minjae물리:이징_사슬 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 $$\frac{\partial h^{\prime}}{\partial h}>1$$ $$\frac{\partial h^{\prime}}{\partial h}>1$$
 이 된다는 것을 확인할 수 있다. 결론적으로 재규격화 과정이 진행될수록 처음의 물리계는 $K$의 값은 점점 작아져 $K=0$에 가까워지고 $h$의 값은 점점 더 커지는 물리계로 치환된다고 할 수 있다. 이 된다는 것을 확인할 수 있다. 결론적으로 재규격화 과정이 진행될수록 처음의 물리계는 $K$의 값은 점점 작아져 $K=0$에 가까워지고 $h$의 값은 점점 더 커지는 물리계로 치환된다고 할 수 있다.
 +
 +$\\$ $\\$ $\\$
 +앞서 설명된 '재규격화'는 크게 2가지의 과정으로 나뉘는데,
 +
 +하나는 coarse graining 과정, 다른 하나는 rescaling 이다.
 +
 +coarse graining은 '대충 갈기' 또는 '대충 뽑기' 라고 번역할 수 있는데, 이러한 의미를 잘 이해하기 위해
 +
 +아래의 '블록 스핀 (block spin)'에 대한 설명을 보자.
 +
 +====== 블록 스핀 (Block spin) ======
 +
 +아래의 그림 중 왼쪽은, 어느 특정 시점에서 10x10개의 2차원 이징 모형 스핀 배열의 원본이고,
 +오른쪽 그림은 그러한 왼쪽의 배열을 '블록 스핀'의 개념을 이용하여 수행한 변환을 표현한 것이다.
 +
 +(이해를 돕기 위해 그림판을 이용하여 간단히 그려보았다. 실제로는 랜덤하게 그린 것은 아니다.)
 +
 +{{::물리::블록스핀.png?550|}}
 +
 +블록 스핀이란, 여러 스핀들을 묶어서 하나의 스핀으로 대체하여 본 스핀을 말한다.
 +
 +즉, 위의 경우는 아래의 방식으로, 2x2 정사각형 안에 들어있는 스핀들을 하나로 묶은 후
 +
 +
 +{{::물리::decimation.png?250|}}
 +
 +그 2x2 정사각형 내의 왼쪽 아래에 위치한 스핀의 부호를 택하여, 나머지 3개의 스핀까지 같은 스핀으로 둔 방식이다.
 +
 +이러한 방식을 'decimation'이라고 한다. 특정한 같은 방식으로 한 개의 스핀 부호를 택하고 나머지 스핀들의 정보는 '지우는' 방법이기 때문이다.
 +
 +다른 변환 방식으로는 'majority rule'이 있다. 한 블록 스핀 내에서 '다수'의 스핀이 향하는 방향(부호)를 블록 스핀의 부호로 택하는 방법이다.
 +
 +그래서 이러한 과정을 coasre graining이라고 부르는데, 기존 스핀들의 정보가 보다 '대충' 갈아졌기 때문(연마) 으로 이해할 수 있다.
 +
 +$\\$ $\\$ 같은 방식으로 128x128개의 스핀 배열을 예로 들어, 아래의 그림들로 보다 명확히 살펴볼 수 있다.
 +
 +(각각 '초기의 스핀배열의 원본 (앞쪽 첫번째), 블록 스핀 (앞쪽 두번째)' , '100 MC steps가 지난 상태의 원본 (뒤쪽 첫번째), 블록 스핀 (뒤쪽 두번째)')$\\$
 +{{::물리::128x128_initial_original_.png?300|}}   {{::물리::128x128_initial_deci_.png?300|}}   
 +$\\$ $\\$ $\\$ $\\$
 +{{::물리::128x128_original_100_mc_steps_.png?300|}}   {{::물리::128x128_deci_100_mc_steps_.png?300|}}   
 +
 +($\beta=0.5$ 로 설정하였고, 편의상 $J$=1 로 두었다.)
 +
 +위에서 설명한 decimation의 방식을 택하여 시뮬레이션을 수행해 보기 위해, 아래의 C++ 코드를 이용할 수 있으며,
 +
 +[[물리:자발적_대칭_깨짐_spontaneous_symmetry_breaking|자발적 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)]]에서 수행한 기존의 코드에서 decimation을 이용하는 부분만 추가해주었다. 
 +
 +(spin : 스핀 배열 원본, deci : decimation을 적용시킨 블록 스핀 배열)
 +
 +<code C++>
 +#include <iostream>
 +#include <cstdlib>
 +#include <cmath>
 +#include <random>
 +#include <vector>
 +
 +using namespace std;
 +
 +int main() {
 + const int lsize=30;
 + const float beta = 0.5;
 + const float J = 1;
 + const int MC_steps=1000;
 + const int iter=lsize*lsize*5000;
 +
 + int i; int j;
 + float del_E; float mp_probability; // mp means metropolis
 + float spin[lsize][lsize] = { 0 };
 +        float deci[lsize][lsize] = { 0 };
 + random_device rd;
 + mt19937 gen(rd());
 + bernoulli_distribution distrib(0.5);
 + uniform_int_distribution<> distri(0, lsize - 1);
 + uniform_real_distribution<> dist(0, 1);
 +
 + for (int t=0; t<iter;t++){
 + if (t==0){
 + for (int a=0;a<lsize;a++){
 + for (int b=0;b<lsize;b++){
 + if (distrib(gen)){
 + spin[a][b]=1;
 + }
 + else {
 + spin[a][b]=-1;
 + }
 + }
 + }
 + }
 +
 + else {
 + i = distri(gen);
 + j = distri(gen);
 +
 + if (i<lsize-1 && j<lsize-1){
 + del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1])); // periodic boundary condition
 + }
 + else if (i==lsize-1 && j<lsize-1){
 + del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1]));
 + }
 +
 + else if (i<lsize-1 && j==lsize-1){
 + del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));
 + }
 +
 + else if (i==lsize-1 && j==lsize-1){
 + del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0])); 
 + }
 +
 + if (exp(-beta*del_E) < 1){
 + mp_probability = exp(-beta*del_E);
 + }
 +
 + else if (exp(-beta*del_E) >= 1) {
 + mp_probability = 1;
 + }
 +
 + if (dist(gen) < mp_probability){
 + spin[i][j] = spin[i][j]*(-1);
 + }
 + }
 +
 + for (int a=0;a<lsize;a++){
 +            for (int b=0;b<lsize;b++){
 +                if ((a+1)%2==0 && (a+b)%2==1){
 +                    deci[a][b] = spin[a][b];
 +                    deci[a][b+1] = spin[a][b];
 +                    deci[a-1][b+1] = spin[a][b];
 +                    deci[a-1][b] = spin[a][b];//decimation (for block spin)
 +                }
 +            }
 +        }
 +
 +}
 + return 0;
 +}
 +
 +</code>
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
   * M. Plischke and B. Bergersen, //Equilibrium Statistical Physics//, 2nd ed.(World Scientific, Singapore, 1994)   * M. Plischke and B. Bergersen, //Equilibrium Statistical Physics//, 2nd ed.(World Scientific, Singapore, 1994)
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