물리:재규격화_변환_renormalization_transformation [statphys]

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====== 재규격화 (Renormalization) ======
'재규격화'는 크게 2가지의 과정으로 나뉘는데,

하나는 coarse graining 과정, 다른 하나는 rescaling 이다.

coarse graining은 '거친(coarse) 결정화(graining)' 또는 '거친 연마 과정' 이라고 해석할 수 있는데, 이러한 의미를 잘 이해하기 위해

아래의 '블록 스핀 (block spin)'에 대한 설명을 보자.

====== 블록 스핀 (Block spin) ======

아래의 그림 중 왼쪽은, 어느 특정 시점에서 10x10 스핀 배열의 원본이고,
오른쪽 그림은 그러한 왼쪽의 배열을 '블록 스핀'의 개념을 이용하여 변환한 것 이다.

{{::물리::블록스핀.png?550|}}

블록 스핀이란, 여러 스핀들을 묶어서 하나의 스핀으로 대체하여 본 스핀을 말한다.

즉, 위의 경우는 아래의 방식으로, 2x2 정사각형 안에 들어있는 스핀들을 하나로 묶은 후


{{::물리::decimation.png?250|}}

그 2x2 정사각형 내의 왼쪽 아래에 위치한 스핀의 부호를 택하여, 나머지 3개의 스핀까지 같은 스핀으로 둔 방식이다.

이러한 방식을 'decimation'이라고 한다. 특정한 같은 방식으로 한 개의 스핀 부호를 택하고 나머지 스핀들의 정보는 '지우는' 방법이기 때문이다.

다른 변환 방식으로는 'majority rule'이 있다. 한 블록 스핀 내에서 '다수'의 스핀이 향하는 방향(부호)를 블록 스핀의 부호로 택하는 방법이다.

그래서 이러한 과정을 coasre graining이라고 부르는데, 기존 스핀들의 정보가 '보다 거칠게' 연마 되었기 때문으로 이해할 수 있다.

$\\$ $\\$ 같은 방식으로 128x128개의 스핀 배열을 예로 들어, 아래의 그림들로 보다 명확히 살펴볼 수 있다.

(각각 '초기의 스핀배열의 원본 (왼쪽), 블록 스핀 (오른쪽)' , '100 MC steps가 지난 상태의 원본 (왼쪽), 블록 스핀 (오른쪽)')$\\$
{{::물리::128x128_initial_original_.png?300|}}   {{::물리::128x128_initial_deci_.png?300|}}   
$\\$
{{::물리::128x128_original_100_mc_steps_.png?300|}}   {{::물리::128x128_deci_100_mc_steps_.png?300|}}   

($\beta=0.5$ 로 설정하였고, 편의상 $J$=1 로 두었다.)

위에서 설명한 decimation의 방식을 택하여 시뮬레이션을 수행해 보기 위해, 아래의 C++ 코드를 이용할 수 있으며,

[[물리:자발적_대칭_깨짐_spontaneous_symmetry_breaking|자발적 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)]]에서 수행한 기존의 코드에서 decimation을 이용하는 부분만 추가해주었다. 

(spin : 스핀 배열 원본, deci : decimation을 적용시킨 블록 스핀 배열)

<code C++>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <random>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
	const int lsize=30;
	const float beta = 0.5;
	const float J = 1;
	const int MC_steps=1000;
	const int iter=lsize*lsize*5000;
	
	int i; int j;
	float del_E; float mp_probability; // mp means metropolis
	float spin[lsize][lsize] = { 0 };
        float deci[lsize][lsize] = { 0 };
	random_device rd;
	mt19937 gen(rd());
	bernoulli_distribution distrib(0.5);
	uniform_int_distribution<> distri(0, lsize - 1);
	uniform_real_distribution<> dist(0, 1);

	for (int t=0; t<iter;t++){
		if (t==0){
			for (int a=0;a<lsize;a++){
				for (int b=0;b<lsize;b++){
					if (distrib(gen)){
						spin[a][b]=1;
					}				
					else {
						spin[a][b]=-1;
					}
				}
			}
		}
			
		else {
			i = distri(gen);
			j = distri(gen);

			if (i<lsize-1 && j<lsize-1){
				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1])); // periodic boundary condition
			}
			else if (i==lsize-1 && j<lsize-1){
				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1]));
			}

			else if (i<lsize-1 && j==lsize-1){
				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));			
			}

			else if (i==lsize-1 && j==lsize-1){
				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0])); 
			}

			if (exp(-beta*del_E) < 1){
				mp_probability = exp(-beta*del_E);
			}

			else if (exp(-beta*del_E) >= 1) {
				mp_probability = 1;
			}
			
			if (dist(gen) < mp_probability){
				spin[i][j] = spin[i][j]*(-1);
			}
		}

	for (int a=0;a<lsize;a++){
            for (int b=0;b<lsize;b++){
                if ((a+1)%2==0 && (a+b)%2==1){
                    deci[a][b] = spin[a][b];
                    deci[a][b+1] = spin[a][b];
                    deci[a-1][b+1] = spin[a][b];
                    deci[a-1][b] = spin[a][b];//decimation (for block spin)
                }
            }
        }
	
}
	return 0;
}

</code>