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--- 물리:조화_고체 [2016/05/18 20:19] – admin
+++ 물리:조화_고체 [2018/06/05 17:09] – [참고문헌] admin
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 더 자세한 설명은 [[:수학:푸리에 변환]]을 참조할 것.
-======운동 에너지======
+======에너지======
+=====운동 에너지=====
-\begin{eqnarray*}
+\begin{eqnarray}
 \frac{1}{2} m \sum_j \dot{x}_j^2 &=& \frac{1}{2}m \sum_j \dot{x}_j \dot{x}_j\\
 &=& \frac{1}{2} m \sum_j \left( N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j} \right)\left( N^{-1/2} \sum_{k'} \dot{\hat{x}}_{k'} e^{ik'R_j} \right)\\
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 &=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk'} \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{k'} N \delta_{k+k',0}\\
 &=& \frac{1}{2} m \sum_k \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{-k}\\
-&=& \frac{1}{2} m \sum_k \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2
+&=& \frac{1}{2} m \sum_k \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2.
-\end{eqnarray*}
+\end{eqnarray}
+식 (2)를 적을 때에 허깨비 변수끼리 같을 이유가 없으므로 $k$, $k'$으로 달리 적었음에 유의한다.
+식 (3)으로부터 (4)로 넘어올 때에 위에서 언급한 [[:수학:크로네커 델타]]의 푸리에 표현식이 쓰였다.
+=====위치 에너지=====
+\begin{eqnarray}
+\frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right)^2 &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right) \left( x_j - x_{j+1} \right)\\
+ &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k \left( e^{ikR_j} - e^{ikR_{j+1}} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} \left( e^{ik'R_j} - e^{ik'R_{j+1}} \right) \right]\\
+ &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikja} \left( 1 - e^{ika} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} e^{ik' ja} \left( 1 - e^{ik' a} \right) \right]\\
+&=& \frac{1}{2}K N^{-1} \sum_{kk'} \hat{x}_k \hat{x}_{k'} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{ik' a} \right) \sum_j \exp[i(k+k')ja]\\
+&=& \frac{1}{2}K \sum_k \hat{x}_k \hat{x}_{-k} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right)\\
+&=& \frac{1}{2} \sum_k \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2.
+\end{eqnarray}
+이 때에 $\hat{K}(k) = K\left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right) = 4K \sin^2 \frac{ka}{2}$로서, [[:물리:소리 양자]](phonon)의 [[:물리:분산 관계]] 중 음향 갈래(acoustic branch)에 해당하는 부분이다.
+=====전체 에너지=====
+따라서 전체 에너지는
+$$E = \sum_k \left[ \frac{1}{2} m \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2 + \frac{1}{2} \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2 \right]$$
+로서 독립적인 [[:물리:조화진동자]]들의 합으로 분리된다.
+======같이 보기======
+[[:물리:현의 진동]]
 ======참고문헌======
-  *Robert H. Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012).
+  *Robert H. Swendsen, //An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics// (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012), pp. 291--307.