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--- 물리:차원분석 [2016/02/10 22:21] – [첫 번째 예: 공룡의 보행속력] admin
+++ 물리:차원분석 [2023/09/05 11:29] – [참고문헌] admin
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 에서도 모든 항은 길이[$L$]의 차원을 가지고 있음을 확인할 수 있다.
-===== 무차원화 =====
+====== 무차원화 ======
 위에서 예로 든 낙하 문제에 어떤 길이 척도 $\lambda$와 시간 척도 $\tau$가 존재한다고 해보자 (예컨대, $\lambda=1m$이고 $\tau = 1s$).
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 즉 서로 다른 중력가속도 하에서, 서로 다른 시간 $\tau$ 동안 서로 다른 거리 $\lambda$를 낙하하는 물체의 궤적들 $z(t)$를을 그린다고 상상해보자. 가로축을 $t/\tau$로 그리고 세로축을 $z/\lambda$로 그리면 $g\tau^2/\lambda$가 일치하는 물체들의 궤적끼리는 정확하게 겹칠 것이다. 수학적으로 정리해서 써보면, 어떤 함수 $f$가 있어서
 $$\frac{z}{\lambda} = f \left(\frac{t}{\tau}, \frac{g\tau^2}{\lambda} \right)$$
-처럼 쓸 수 있으리라는 이야기이다. 처음의 운동방정식만 생각하면 $z$가 $t, g, \tau, \lambda$ 등 연관된 모든 변수에 의존할 것처럼 보이지만 실제 독립변수의 수는 훨씬 적다. 무차원수끼리의 함수 관계가 성립한다는 점에 유의하라.
+처럼 쓸 수 있으리라는 이야기이다. 처음의 운동방정식만 생각하면 $z$가 $t, g, \tau, \lambda$ 등 연관된 모든 변수에 의존할 것처럼 보이지만 실제 독립변수의 수는 훨씬 적다. 이는 실험을 할 때에 들여야 하는 시간과 노력을 엄청나게 줄여줄 수 있다. 무차원수끼리의 함수 관계가 성립한다는 점에 유의하라.
 영화에서 미니어처를 만든 다음 고속 촬영을 통해 주위 물체가 천천히 떨어지는 것처럼 하면 마치 거대한 물체를 찍은 것처럼 눈속임할 수 있는데, 이것도 $\tau$와 $\lambda$를 적절히 조정해 무차원수의 값을 같게 만듦으로써 미니어처와 거대한 물체를 구분할 수 없도록 눈속임하는 것이다. 실험에서는 이러한 것을 시늉내기(simulation)라고 부른다.
-이러한 무차원수의 분석은 통계역학과 유체역학과 같은 분야에서 정확한 운동 방정식을 세울 수조차 없는 복잡한 경우에도 종종 유용한 길잡이가 되어준다.
+이러한 무차원수의 분석은 통계역학과 유체역학과 같은 분야에서 정확한 운동 방정식을 세울 수조차 없는 복잡한 경우에도 종종 유용한 길잡이가 되어준다. 즉
+  * 주요 매개변수 간의 관계를 이해할 수 있게 해주고
+  * 문제에 관련된 매개변수의 수를 줄일 수 있다.
-====첫 번째 예: 공룡의 보행속력====
+=====첫 번째 예: 공룡의 보행속력=====
 동물의 보행 속력 $s$가 다리 길이 $L$과 중력가속도 $g$에 의해 결정된다고 가정하자. 이로부터 만들어낼 수 있는 무차원수는$s/\sqrt{lg}$이다. 나아가 보폭을 $S$라고 했을 때 $S/L$도 무차원수이다.
 $$ S/L = f(s/\sqrt{Lg})$$
 라고 가정하고 여러 동물들에 대해 이 관계를 시험해보면 실제 상당히 깨끗한 선형 관계를 발견할 수 있다. 이 관계식으로부터 공룡의 보행속력을 추정해볼 수 있다.
+=====두 번째 예: 수소 원자 반지름=====
+수소 원자에서 전자가 양성자에 전자기적으로 묶여있으므로 그 반지름을 결정하는 데에 다음의 양이 등장할 것으로 추측할 수 있다.
+$$ \left[ \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \right] = [r^2 F] = [ML^3 T^{-2}]$$
+전자기력이 원운동할 때의 변위로 나타나려면 전자의 질량 $m_e$ 역시 포함되어야 하고 이는 [$M$]의 차원을 가진다.
+양자역학에 대한 고려에서 플랑크 상수 $\hbar$를 도입하고 ($[\hbar] = [ML^2 T^{-1}]$), 수소 원자의 반지름을 $a_0$라고 하면 가능한 무차원수는
+$$\frac{\hbar^2}{a_0 m_e (e^2/(4\pi \epsilon_0))}$$
+뿐이다. 이로부터
+$$a_0 \propto \frac{\hbar^2}{m_e (e^2/(4\pi \epsilon_0))}$$
+라고 추론할 수 있다. 물론 비례상수는 차원 분석에서 전혀 결정되지 않지만 이 경우 다행히 $O(1)$이어서 좋은 결과를 준다.
+=====세 번째 예: 수면파의 속력=====
+수면파의 속력을 결정 짓는 요소가 중력가속도 $g$, 수심 $h$, 파장 $\lambda$, 그리고 유체의 밀도 $\rho$라고 하자. 차원 분석을 통해 무차원수끼리 연결시켜보면
+$$\frac{c}{\sqrt{gh}} = f\left( \frac{h}{\lambda} \right)$$
+를 추측할 수 있다. 얕은 물에서는, 즉 $h/\lambda \to 0$에서는
+$$c \sim \sqrt{gh} ~ f(0) \propto \sqrt{h}$$
+이다. 물론 $f(x)$가 $x \to 0$로 가는 과정이 매끈한지는 차원분석만으로 알 수 없다.
+사실 길이 차원을 갖는 변수가 $h$ 말고 $\lambda$도 있으므로 아래처럼 적어도 된다:
+$$c = \sqrt{g \lambda} \tilde{f} \left( \frac{h}{\lambda} \right).$$
+이 때에 $h/\lambda \to 0$의 극한을 고려하려면 어떻게 해야 하는가?
+상식적으로 이런 경우 $\lambda$는 $c$에 별 영향을 미치지 못할 것이다.
+따라서 $x \to 0$에서 $\tilde{f}(x) \sim x^{1/2} f(x)$라면 $\lambda$에 관한 항이 상쇄되어 사라지고
+최종 결과는 위에서 $f$만을 가지고 쓴 것과 일치한다.
+=====함께 보기=====
+[[배규호:임계지수]]
 ======참고문헌======
-  * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, Cimbala & Çengel의 유체역학, (지필, 서울, 2013).
+  * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, //Cimbala & Çengel의 유체역학// (지필, 서울, 2013).
-  * [[http://www.trincoll.edu/~cgeiss/geos_112/dino_speed/geos_112_dinospeed.pdf|Can you outrun a dinosaur?]]
+  * R. McNeill Alexander, //Principles of Animal Locomotion// [Princeton University Press, Princeton, NJ (2006)]
+  * [[http://web.mit.edu/6.055/old/S2009/notes/hydrogen.pdf|Art of approximation in science and engineering]]
+  * Nigel Goldenfeld, //Lectures on phase transitions and the renormalization group// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1992).