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+++ 물리:차원분석 [2023/09/05 11:29] – [참고문헌] admin
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 라고 추론할 수 있다. 물론 비례상수는 차원 분석에서 전혀 결정되지 않지만 이 경우 다행히 $O(1)$이어서 좋은 결과를 준다.
-=====세 번째 예: 커피 넘침=====
+=====세 번째 예: 수면파의 속력=====
-커피 잔이 충분히 길어서 깊이는 더 이상 중요한 역할을 못한다고 가정하자. 표면파의 진동수 $f = \frac{\omega}{2\pi}$를 결정 짓는 물리량이 커피 잔의 지름 $l$과 중력가속도 $g$라고 보는 것은 그럴 듯하다. 이 경우 가능한 무차원수는
-$\frac{\omega}{\sqrt{g/l}}$
-이고 이로부터 $\omega \sim \sqrt{g/l}$ 리고 추측할 수 있다.
-커피 잔의 지름이 약 $10cm = 0.1m$라고 하면 $f \sim 1.6 Hz$ 정도이다. 이는 사람이 걷는 주파수와 비슷한 영역대에 있다.
+수면파의 속력을 결정 짓는 요소가 중력가속도 $g$, 수심 $h$, 파장 $\lambda$, 그리고 유체의 밀도 $\rho$라고 하자. 차원 분석을 통해 무차원수끼리 연결시켜보면
-=====네 번째 예:강자성체의 임계지수=====
+$$\frac{c}{\sqrt{gh}} = f\left( \frac{h}{\lambda} \right)$$
+를 추측할 수 있다. 얕은 물에서는, 즉 $h/\lambda \to 0$에서는
+$$c \sim \sqrt{gh} ~ f(0) \propto \sqrt{h}$$
+이다. 물론 $f(x)$가 $x \to 0$로 가는 과정이 매끈한지는 차원분석만으로 알 수 없다.
-강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때[[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 상관함수가 임계 온도 근바엥서 $\xi^{y}$ 의 함수로 근사 될 수 있음을 보였었다.
+사실 길이 차원을 갖는 변수가 $h$ 말고 $\lambda$도 있으므로 아래처럼 적어도 된다:
+$$c = \sqrt{g \lambda} \tilde{f} \left( \frac{h}{\lambda} \right).$$
-또한 상관함수는 $(spin density)^{2} \times (volume)$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다.
+이 때에 $h/\lambda \to 0$의 극한을 고려하려면 어떻게 해야 하는가?
+상식적으로 이런 경우 $\lambda$는 $c$에 별 영향을 미치지 못할 것이다.
-$$ 2d_{\sigma} - d = -y $$
+따라서 $x \to 0$에서 $\tilde{f}(x) \sim x^{1/2} f(x)$라면 $\lambda$에 관한 항이 상쇄되어 사라지고
+최종 결과는 위에서 $f$만을 가지고 쓴 것과 일치한다.
-$$ d_{\sigma} = \frac{1}{2}(d-y) = \frac{1}{2}(d-2+\eta)$$
-두 번째 줄에서 [[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 유도된 결과인 $$y = 2 - \eta$$ 를 사용하였다. $d_{\sigma}$ 를 스핀 밀도의 척도 차원이라고 하자.
-비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지(F)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다.
-$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, \quad T > T_c, \rightarrow \nu $$
-$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, \quad T < T_c, \rightarrow \nu^{\prime} $$
-$$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$
-열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다.
-상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 [[:배규호:임계지수]] $\alpha$ 를 구하기 위해 차원 분석을 활용한다.
-$$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$
-열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다.
-$$ \alpha = 2 - \nu d $$
-비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 자유장(apply field, h)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta} $ 의
-임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다.
-이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다.
+=====함께 보기=====
+[[배규호:임계지수]]
 ======참고문헌======
-  * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, //Cimbala & Çengel의 유체역학//, (지필, 서울, 2013).
+  * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, //Cimbala & Çengel의 유체역학// (지필, 서울, 2013).
-  * [[http://www.trincoll.edu/~cgeiss/geos_112/dino_speed/geos_112_dinospeed.pdf|Can you outrun a dinosaur?]]
+  * R. McNeill Alexander, //Principles of Animal Locomotion// [Princeton University Press, Princeton, NJ (2006)]
   * [[http://web.mit.edu/6.055/old/S2009/notes/hydrogen.pdf|Art of approximation in science and engineering]]
-  * MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.
+  * Nigel Goldenfeld, //Lectures on phase transitions and the renormalization group// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1992).