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| 물리:차원분석 [2016/02/10 22:23] – [무차원화] admin | 물리:차원분석 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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| 에서도 모든 항은 길이[$L$]의 차원을 가지고 있음을 확인할 수 있다. | 에서도 모든 항은 길이[$L$]의 차원을 가지고 있음을 확인할 수 있다. | ||
| - | ===== 무차원화 ===== | + | ====== 무차원화 |
| 위에서 예로 든 낙하 문제에 어떤 길이 척도 $\lambda$와 시간 척도 $\tau$가 존재한다고 해보자 (예컨대, $\lambda=1m$이고 $\tau = 1s$). | 위에서 예로 든 낙하 문제에 어떤 길이 척도 $\lambda$와 시간 척도 $\tau$가 존재한다고 해보자 (예컨대, $\lambda=1m$이고 $\tau = 1s$). | ||
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| - | ====첫 번째 예: 공룡의 보행속력==== | + | =====첫 번째 예: 공룡의 보행속력===== |
| 동물의 보행 속력 $s$가 다리 길이 $L$과 중력가속도 $g$에 의해 결정된다고 가정하자. 이로부터 만들어낼 수 있는 무차원수는$s/ | 동물의 보행 속력 $s$가 다리 길이 $L$과 중력가속도 $g$에 의해 결정된다고 가정하자. 이로부터 만들어낼 수 있는 무차원수는$s/ | ||
| $$ S/L = f(s/ | $$ S/L = f(s/ | ||
| 라고 가정하고 여러 동물들에 대해 이 관계를 시험해보면 실제 상당히 깨끗한 선형 관계를 발견할 수 있다. 이 관계식으로부터 공룡의 보행속력을 추정해볼 수 있다. | 라고 가정하고 여러 동물들에 대해 이 관계를 시험해보면 실제 상당히 깨끗한 선형 관계를 발견할 수 있다. 이 관계식으로부터 공룡의 보행속력을 추정해볼 수 있다. | ||
| + | =====두 번째 예: 수소 원자 반지름===== | ||
| + | 수소 원자에서 전자가 양성자에 전자기적으로 묶여있으므로 그 반지름을 결정하는 데에 다음의 양이 등장할 것으로 추측할 수 있다. | ||
| + | $$ \left[ \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \right] = [r^2 F] = [ML^3 T^{-2}]$$ | ||
| + | 전자기력이 원운동할 때의 변위로 나타나려면 전자의 질량 $m_e$ 역시 포함되어야 하고 이는 [$M$]의 차원을 가진다. | ||
| + | |||
| + | 양자역학에 대한 고려에서 플랑크 상수 $\hbar$를 도입하고 ($[\hbar] = [ML^2 T^{-1}]$), 수소 원자의 반지름을 $a_0$라고 하면 가능한 무차원수는 | ||
| + | $$\frac{\hbar^2}{a_0 m_e (e^2/(4\pi \epsilon_0))}$$ | ||
| + | 뿐이다. 이로부터 | ||
| + | $$a_0 \propto \frac{\hbar^2}{m_e (e^2/(4\pi \epsilon_0))}$$ | ||
| + | 라고 추론할 수 있다. 물론 비례상수는 차원 분석에서 전혀 결정되지 않지만 이 경우 다행히 $O(1)$이어서 좋은 결과를 준다. | ||
| + | |||
| + | =====세 번째 예: 수면파의 속력===== | ||
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| + | 수면파의 속력을 결정 짓는 요소가 중력가속도 $g$, 수심 $h$, 파장 $\lambda$, 그리고 유체의 밀도 $\rho$라고 하자. 차원 분석을 통해 무차원수끼리 연결시켜보면 | ||
| + | $$\frac{c}{\sqrt{gh}} = f\left( \frac{h}{\lambda} \right)$$ | ||
| + | 를 추측할 수 있다. 얕은 물에서는, | ||
| + | $$c \sim \sqrt{gh} ~ f(0) \propto \sqrt{h}$$ | ||
| + | 이다. 물론 $f(x)$가 $x \to 0$로 가는 과정이 매끈한지는 차원분석만으로 알 수 없다. | ||
| + | |||
| + | 사실 길이 차원을 갖는 변수가 $h$ 말고 $\lambda$도 있으므로 아래처럼 적어도 된다: | ||
| + | $$c = \sqrt{g \lambda} \tilde{f} \left( \frac{h}{\lambda} \right).$$ | ||
| + | 이 때에 $h/\lambda \to 0$의 극한을 고려하려면 어떻게 해야 하는가? | ||
| + | 상식적으로 이런 경우 $\lambda$는 $c$에 별 영향을 미치지 못할 것이다. | ||
| + | 따라서 $x \to 0$에서 $\tilde{f}(x) \sim x^{1/2} f(x)$라면 $\lambda$에 관한 항이 상쇄되어 사라지고 | ||
| + | 최종 결과는 위에서 $f$만을 가지고 쓴 것과 일치한다. | ||
| + | |||
| + | =====함께 보기===== | ||
| + | [[배규호: | ||
| ======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
| - | * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, Cimbala & Çengel의 유체역학, (지필, 서울, 2013). | + | * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, |
| - | * [[http://www.trincoll.edu/~cgeiss/geos_112/dino_speed/geos_112_dinospeed.pdf|Can you outrun a dinosaur?]] | + | * R. McNeill Alexander, // |
| + | * [[http://web.mit.edu/6.055/old/S2009/notes/ | ||
| + | * Nigel Goldenfeld, //Lectures on phase transitions and the renormalization group// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1992). | ||