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물리:차원분석 [2018/03/08 16:10] – admin | 물리:차원분석 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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라고 추론할 수 있다. 물론 비례상수는 차원 분석에서 전혀 결정되지 않지만 이 경우 다행히 $O(1)$이어서 좋은 결과를 준다. | 라고 추론할 수 있다. 물론 비례상수는 차원 분석에서 전혀 결정되지 않지만 이 경우 다행히 $O(1)$이어서 좋은 결과를 준다. | ||
- | =====세 | + | =====세 번째 예: 수면파의 속력===== |
- | 커피 잔이 충분히 길어서 깊이는 더 이상 중요한 역할을 못한다고 가정하자. 표면파의 진동수 $f = \frac{\omega}{2\pi}$를 결정 짓는 물리량이 커피 잔의 지름 $l$과 중력가속도 $g$라고 보는 것은 그럴 듯하다. 이 경우 가능한 무차원수는 | + | |
- | $\frac{\omega}{\sqrt{g/ | + | |
- | 이고 이로부터 $\omega \sim \sqrt{g/l}$ 리고 추측할 수 있다. | + | |
- | + | ||
- | 커피 잔의 지름이 약 $10cm = 0.1m$라고 하면 $f \sim 1.6 Hz$ 정도이다. 이는 사람이 걷는 주파수와 비슷한 영역대에 있다. | + | |
- | + | ||
- | =====네 | + | |
수면파의 속력을 결정 짓는 요소가 중력가속도 $g$, 수심 $h$, 파장 $\lambda$, 그리고 유체의 밀도 $\rho$라고 하자. 차원 분석을 통해 무차원수끼리 연결시켜보면 | 수면파의 속력을 결정 짓는 요소가 중력가속도 $g$, 수심 $h$, 파장 $\lambda$, 그리고 유체의 밀도 $\rho$라고 하자. 차원 분석을 통해 무차원수끼리 연결시켜보면 | ||
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최종 결과는 위에서 $f$만을 가지고 쓴 것과 일치한다. | 최종 결과는 위에서 $f$만을 가지고 쓴 것과 일치한다. | ||
- | + | =====함께 보기===== | |
- | =====다섯 번째 예: | + | [[배규호: |
- | + | ||
- | 강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때 [[배규호: | + | |
- | + | ||
- | 또한 상관함수는 $(\text{spin density})^{2} \times (\text{volume})$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다. | + | |
- | + | ||
- | $$ 2d_{\sigma} - d = -y $$ | + | |
- | + | ||
- | $$ d_{\sigma} | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | 두 번째 줄에서 [[배규호: | + | |
- | + | ||
- | 비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지($F$)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다. | + | |
- | $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, | + | |
- | $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, | + | |
- | $$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$ | + | |
- | + | ||
- | 열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다. | + | |
- | + | ||
- | 상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 | + | |
- | + | ||
- | $$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$ | + | |
- | + | ||
- | 열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다. | + | |
- | + | ||
- | $$ \alpha = 2 - \nu d $$ | + | |
- | + | ||
- | 비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 외부장(applied field $h$)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta}} $ 의 | + | |
- | + | ||
- | 임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다. | + | |
- | + | ||
- | 이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다. | + | |
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, //Cimbala & Çengel의 유체역학// | * John C. Cimbala and Yunus A. Çengel, 박운진 (외) 옮김, //Cimbala & Çengel의 유체역학// | ||
- | * [[http:// | + | * R. McNeill Alexander, |
* [[http:// | * [[http:// | ||
* Nigel Goldenfeld, //Lectures on phase transitions and the renormalization group// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1992). | * Nigel Goldenfeld, //Lectures on phase transitions and the renormalization group// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1992). | ||
- | * Shang-Keng Ma, //Modern theory of critical phenomena// (Westview Press, Boulder, Colorado, 1976). | + |