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--- 물리:칼데이라-레겟_모형 [2016/04/06 10:31] – [요동] admin
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 ======개요======
-칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]]의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.
+칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]](harmonic oscillator)의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.
 ======라그랑지언======
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 여기에서 $c_k$는 결합상수이다.
-마지막의 $L_{CT}$는 나란히 옮김 불변성(translational invariance)를 주기 위한 소위 반대항(counter term)으로서
+마지막의 $L_{CT}$는 소위 반대항(counter term)으로서
 $$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$
 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다.
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 $$M \ddot{q} + V'(q) + \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right] = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$
-======흩어지기======
+======흩어지기 (dissipation)======
-좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학:라플라스 변환|라플라스 역변환]]은 다음의 브롬위치 적분으로 주어진다:
+좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학:라플라스 변환|라플라스 역변환]]은 다음의 브롬위치 적분(Bromwich integral)으로 주어진다:
 $$\mathcal{L}^{-1} \left[ \tilde{F}(s) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} \tilde{F}(s) e^{st} ds.$$
 이 때에 $\epsilon$은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 $t$에 대해 미분할 경우
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-=====스펙트럼 함수=====
+=====스펙트럼 함수 (spectral function)=====
 스펙트럼 함수 $J(\omega)$를 다음처럼 정의하자:
 $$J(\omega) = \frac{\pi}{2} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k} \delta(\omega - \omega_k)$$
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 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다:
 \begin{eqnarray*}
-\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\infty d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
+\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\Omega d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
 &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t').
 \end{eqnarray*}
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-======요동======
+======요동 (fluctuation)======
 위 운동방정식의 마지막 항을 $f(t)$라고 부르자:
 $$f(t) = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$
 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t>0^+$에서
 $$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$
-가 될 것이다.
+가 될 것이다. 이는 [[물리:랑주뱅 방정식]]과 같은 형태이며, 우리가 확인해야 할 것은 $\left< f(t) \right>=0$과 $\left< f(t) f(t') \right> = 2\eta k_B T \delta(t-t')$이라는 [[물리:랑주뱅 방정식]]의 가정이 만족되는지의 여부이다.
-======참고문헌======
-  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Scholarpedia]]
+이를 위해 몇 가지 정보를 먼저 적어두자. 먼저 $t=0$에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]](equipartition theorem)를 생각하면 앙상블 평균 $\left< \ldots \right>$에 대해 다음이 성립한다:
+\begin{eqnarray*}
+\left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\
+\left< \dot{q}_k \Delta q_k(0) \right> &=& 0,\\
+\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right> &=& \frac{k_B T}{m_k} \delta_{kk'},\\
+\left< \Delta q_k(0) \Delta q_{k'}(0) \right> &=& \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.\\
+\end{eqnarray*}
+이 때에 $\Delta q_k(0) = q_k(0) - \overline{q}_k(0)$는 평형점 $\overline{q}_k(0)$으로부터 벗어난 변위를 의미하고
+$k_B$는 [[물리:볼츠만 상수]], $\delta_{kk'}$은 [[수학:크로네커 델타]]이다.
+이 평형점은 $q_k$에 대한 운동방정식에서 $\ddot{q}_k=0$으로 놓으면
+$$\overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$$
+로 주어진다. [[물리:조화진동자]]가 평형점 근처에 머무르므로 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$, 혹은 $\left< q_k(0) \right> = \overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$이다.
+=====평균=====
+$f(t)$의 평균을 보면, 먼저 $\left< \dot{q}_k(0) \right> = 0$이므로
+\begin{eqnarray*}
+\left< f(t) \right> &=& \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s \left< q_k(0) \right>}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{ \left< \dot{q}_k(0) \right>}{s^2 + \omega_k^2} \right] =  \sum_k c_k \left< q_k(0) \right> \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{s^2 + \omega_k^2} \right]\\
+&=& q(0) \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k t \times u(t) = 2\eta q(0) \delta(t) u(t)
+\end{eqnarray*}
+이다. 따라서 $t>0^+$에서 $\left< f(t) \right> = 0$이다.
+=====상관함수=====
+이번에는 상관함수를 보면, [[물리:라플라스 변환|브롬위치 적분]]을 도입해서
+\begin{eqnarray*}
+\left< f(t) f(t') \right> &=& \left< \left\{ \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right] \right\} \times
+\left\{ \sum_{k'} c_{k'} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{s' q_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} + \frac{\dot{q}_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} \right] \right\} \right>\\
+&=& \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds' \sum_{kk'} c_k c_{k'} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right] e^{st} e^{s't'}\\
+&=& \sum_{kk'} c_k c_{k'} \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right]
+\end{eqnarray*}
+처럼 쓸 수 있다. 이 때 $\mathcal{L'}$은 $t$를 $s'$과 연결짓는 [[수학:라플라스 변환]]을 의미한다.
+여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다:
+$$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$
+이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 $0$이다.
+따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다:
+\begin{eqnarray*}
+\left< f(t) f(t') \right> &=& \sum_k c_k^2 \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{k_B T}{m_k (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} + \frac{ss' k_B T}{m_k \omega_k^2 (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} \right]\\
+&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \left( \sin \omega_k t \sin \omega_k t' + \cos \omega_k t \cos \omega_k t' \right) u(t) u(t')\\
+&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k (t-t')\\
+&=& 2\eta k_B T \delta(t-t').
+\end{eqnarray*}
+======참고문헌======
+  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]]
+  *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]