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물리:칼데이라-레겟_모형 [2016/04/06 12:41] – [요동] admin | 물리:칼데이라-레겟_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 1: | Line 1: | ||
======개요====== | ======개요====== | ||
- | 칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리: | + | 칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리: |
======라그랑지언====== | ======라그랑지언====== | ||
Line 17: | Line 17: | ||
여기에서 $c_k$는 결합상수이다. | 여기에서 $c_k$는 결합상수이다. | ||
- | 마지막의 $L_{CT}$는 | + | 마지막의 $L_{CT}$는 소위 반대항(counter term)으로서 |
$$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$ | $$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$ | ||
으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다. | 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다. | ||
Line 41: | Line 41: | ||
$$M \ddot{q} + V'(q) + \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right] = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$ | $$M \ddot{q} + V'(q) + \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right] = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$ | ||
- | ======흩어지기====== | + | ======흩어지기 |
- | 좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학: | + | 좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학: |
$$\mathcal{L}^{-1} \left[ \tilde{F}(s) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} \tilde{F}(s) e^{st} ds.$$ | $$\mathcal{L}^{-1} \left[ \tilde{F}(s) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} \tilde{F}(s) e^{st} ds.$$ | ||
이 때에 $\epsilon$은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 $t$에 대해 미분할 경우 | 이 때에 $\epsilon$은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 $t$에 대해 미분할 경우 | ||
Line 58: | Line 58: | ||
- | =====스펙트럼 함수===== | + | =====스펙트럼 함수 |
스펙트럼 함수 $J(\omega)$를 다음처럼 정의하자: | 스펙트럼 함수 $J(\omega)$를 다음처럼 정의하자: | ||
$$J(\omega) = \frac{\pi}{2} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k} \delta(\omega - \omega_k)$$ | $$J(\omega) = \frac{\pi}{2} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k} \delta(\omega - \omega_k)$$ | ||
Line 70: | Line 70: | ||
가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다: | 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다: | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t' | + | \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t' |
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t' | &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t' | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
Line 76: | Line 76: | ||
- | ======요동====== | + | ======요동 |
위 운동방정식의 마지막 항을 $f(t)$라고 부르자: | 위 운동방정식의 마지막 항을 $f(t)$라고 부르자: | ||
$$f(t) = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$ | $$f(t) = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$ | ||
위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t> | 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t> | ||
$$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$ | $$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$ | ||
- | 가 될 것이다. | + | 가 될 것이다. 이는 [[물리: |
- | $t=0$에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리: | + | 이를 위해 몇 가지 정보를 먼저 적어두자. 먼저 |
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
\left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\ | \left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\ | ||
Line 92: | Line 92: | ||
이 때에 $\Delta q_k(0) = q_k(0) - \overline{q}_k(0)$는 평형점 $\overline{q}_k(0)$으로부터 벗어난 변위를 의미하고 | 이 때에 $\Delta q_k(0) = q_k(0) - \overline{q}_k(0)$는 평형점 $\overline{q}_k(0)$으로부터 벗어난 변위를 의미하고 | ||
$k_B$는 [[물리: | $k_B$는 [[물리: | ||
+ | |||
이 평형점은 $q_k$에 대한 운동방정식에서 $\ddot{q}_k=0$으로 놓으면 | 이 평형점은 $q_k$에 대한 운동방정식에서 $\ddot{q}_k=0$으로 놓으면 | ||
$$\overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$$ | $$\overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$$ | ||
- | 로 주어진다. | + | 로 주어진다. [[물리:조화진동자]]가 평형점 근처에 머무르므로 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$, 혹은 $\left< q_k(0) \right> = \overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$이다. |
- | ======참고문헌====== | + | |
- | *[[http:// | + | |
+ | =====평균===== | ||
+ | $f(t)$의 평균을 보면, 먼저 $\left< \dot{q}_k(0) \right> = 0$이므로 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< f(t) \right> &=& \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s \left< q_k(0) \right> | ||
+ | &=& q(0) \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k t \times u(t) = 2\eta q(0) \delta(t) u(t) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 따라서 $t> | ||
+ | |||
+ | =====상관함수===== | ||
+ | 이번에는 상관함수를 보면, [[물리: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< f(t) f(t') \right> &=& \left< \left\{ \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right] \right\} \times | ||
+ | \left\{ \sum_{k' | ||
+ | &=& \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds' \sum_{kk' | ||
+ | &=& \sum_{kk' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 처럼 쓸 수 있다. 이 때 $\mathcal{L' | ||
+ | |||
+ | 여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다: | ||
+ | $$\left< q_k(0) q_{k' | ||
+ | 이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 $0$이다. | ||
+ | |||
+ | 따라서 $t> | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< f(t) f(t') \right> &=& \sum_k c_k^2 \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L' | ||
+ | &=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \left( \sin \omega_k t \sin \omega_k t' + \cos \omega_k t \cos \omega_k t' \right) u(t) u(t' | ||
+ | &=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k (t-t' | ||
+ | &=& 2\eta k_B T \delta(t-t' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | *[[http:// | ||
+ | *[[https:// |