물리:칼데이라-레겟_모형

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물리:칼데이라-레겟_모형 [2016/04/06 18:08] – [흩어지기] admin물리:칼데이라-레겟_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 ======개요====== ======개요======
-칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]]의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.+칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]](harmonic oscillator)의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.
  
 ======라그랑지언====== ======라그랑지언======
Line 17: Line 17:
 여기에서 $c_k$는 결합상수이다. 여기에서 $c_k$는 결합상수이다.
  
-마지막의 $L_{CT}$는 나란히 옮김 불변성(translational invariance)를 주기 위한 소위 반대항(counter term)으로서+마지막의 $L_{CT}$는 소위 반대항(counter term)으로서
 $$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$ $$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$
 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다. 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다.
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 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다: 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\infty d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\+\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\Omega d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
 &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t'). &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t').
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
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 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t>0^+$에서 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t>0^+$에서
 $$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$ $$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$
-가 될 것이다.+가 될 것이다. 이는 [[물리:랑주뱅 방정식]]과 같은 형태이며, 우리가 확인해야 할 것은 $\left< f(t) \right>=0$과 $\left< f(t) f(t') \right> = 2\eta k_B T \delta(t-t')$이라는 [[물리:랑주뱅 방정식]]의 가정이 만족되는지의 여부이다.
  
-$t=0$에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]](equipartition theorem)를 생각하면 앙상블 평균 $\left< \ldots \right>$에 대해 다음이 성립한다:+이를 위해 몇 가지 정보를 먼저 적어두자. 먼저 $t=0$에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]](equipartition theorem)를 생각하면 앙상블 평균 $\left< \ldots \right>$에 대해 다음이 성립한다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 \left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\ \left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\
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 여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다: 여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다:
 $$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$ $$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$
-이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 0이 된다.+이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 $0$이다.
  
 따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다: 따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다:
Line 127: Line 127:
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
-  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Scholarpedia]] +  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]] 
 +  *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
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