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--- 물리:평균장_이론 [2016/02/11 12:55] – admin
+++ 물리:평균장_이론 [2018/05/16 10:22] – [무한 범위 모형] admin
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 모든 스핀이 서로 연결된 이징 모형의 경우 평균장 이론은 정확한 답을 준다. 이 때의 해밀토니안은
 $$H = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} S_i S_j - h \sum_i S_i$$
-이다. 첫 항의 $1/2$은 각 스핀이 한 번씩만 더해지도록 추가한 것이고 $1/N$은 해밀토니안을 [[물리:크기 변수]]로 만들기 위해서이다.
+이다. 첫 항의 $1/2$은 각 스핀쌍이 한 번씩만 나타나도록 추가한 것이고 $1/N$은 해밀토니안을 [[물리:크기 변수]]로 만들기 위해서이다.
+첫 번째 항의 합을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+$$\sum_{i \neq j} S_i S_j = \left(\sum_i S_i \right)^2 - N.$$
+따라서 분배함수는
+$$Z = \mbox{Tr} \exp \left[ \frac{\beta J}{2N} \left(\sum_i S_i \right)^2 - \frac{\beta J}{2} + \beta h \sum_i S_i \right]$$
+이 된다. 이 중 $\beta J/2$는 상수이고 물리에 아무런 영향을 끼치지 않으므로 무시한다.
+[[수학:허바드-스트라토노비치 변환]]에 의하면
+$$e^{ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 + \sqrt{N}amx}$$
+이므로 $a=\beta J$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$를 대입하면
+$$e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i}$$
+이다. 여기에 대각합을 걸면 $\sum_i S_i$에만 걸리므로, 결과적으로 분배함수는
+$$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$
+$$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2} [2\cosh \beta(Jm+h)]^N$$
+$$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ \exp \left\{  - \frac{N\beta Jm^2}{2} + N\ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\}$$
+이 된다.
+[[수학:안장점 근사]] 방법에 의하면 $N \rightarrow \infty$에서 가장 큰 기여분은 아래 방정식이 만족될 때 얻어진다:
+$$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$$
+이는 위에서 구한 $m = \tanh \beta (Jm+h)$와 같은 식이다.
+여기에서 $m$은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도 $m$이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식
+$$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$
+에 [[수학:안장점 근사]] 방법을 적용하면
+$$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$$
+이 되면서 $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$임을 확인할 수 있다.
 ======참고문헌======
-  *H. Nishimori, Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction (Clarendon, Oxford, 2001).
+  *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).