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물리:평균장_이론 [2016/02/11 12:55] – admin | 물리:평균장_이론 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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모든 스핀이 서로 연결된 이징 모형의 경우 평균장 이론은 정확한 답을 준다. 이 때의 해밀토니안은 | 모든 스핀이 서로 연결된 이징 모형의 경우 평균장 이론은 정확한 답을 준다. 이 때의 해밀토니안은 | ||
$$H = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} S_i S_j - h \sum_i S_i$$ | $$H = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} S_i S_j - h \sum_i S_i$$ | ||
- | 이다. 첫 항의 $1/2$은 각 스핀이 한 번씩만 | + | 이다. 첫 항의 $1/2$은 각 스핀쌍이 한 번씩만 |
+ | 첫 번째 항의 합을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다: | ||
+ | $$\sum_{i \neq j} S_i S_j = \left(\sum_i S_i \right)^2 - N.$$ | ||
+ | 따라서 분배함수는 | ||
+ | $$Z = \mbox{Tr} \exp \left[ \frac{\beta J}{2N} \left(\sum_i S_i \right)^2 - \frac{\beta J}{2} + \beta h \sum_i S_i \right]$$ | ||
+ | 이 된다. 이 중 $\beta J/2$는 상수이고 물리에 아무런 영향을 끼치지 않으므로 무시한다. | ||
+ | |||
+ | [[수학: | ||
+ | $$e^{ax^2/ | ||
+ | 이므로 $a=\beta J$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$를 대입하면 | ||
+ | $$e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i}$$ | ||
+ | 이다. 여기에 대각합을 걸면 $\sum_i S_i$에만 걸리므로, | ||
+ | $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | ||
+ | $$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2} [2\cosh \beta(Jm+h)]^N$$ | ||
+ | $$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ \exp \left\{ | ||
+ | 이 된다. | ||
+ | |||
+ | [[수학: | ||
+ | $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$$ | ||
+ | 이는 위에서 구한 $m = \tanh \beta (Jm+h)$와 같은 식이다. | ||
+ | |||
+ | 여기에서 $m$은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도 $m$이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식 | ||
+ | $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | ||
+ | 에 [[수학: | ||
+ | $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$$ | ||
+ | 이 되면서 $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$임을 확인할 수 있다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
- | *H. Nishimori, Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction (Clarendon, Oxford, 2001). | + | *H. Nishimori, |