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| 물리:평균장_이론 [2017/07/11 16:13] – external edit 127.0.0.1 | 물리:평균장_이론 [2018/05/16 10:22] – [무한 범위 모형] admin | ||
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| $$e^{ax^2/ | $$e^{ax^2/ | ||
| 이므로 $a=\beta J$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$를 대입하면 | 이므로 $a=\beta J$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$를 대입하면 | ||
| - | $$e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i$$ | + | $$e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i}$$ |
| 이다. 여기에 대각합을 걸면 $\sum_i S_i$에만 걸리므로, | 이다. 여기에 대각합을 걸면 $\sum_i S_i$에만 걸리므로, | ||
| $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | ||
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| 이 된다. | 이 된다. | ||
| - | [[수학:최급경강하]] 방법에 의하면 $N \rightarrow \infty$에서 가장 큰 기여분은 아래 방정식이 만족될 때 얻어진다: | + | [[수학:안장점 근사]] 방법에 의하면 $N \rightarrow \infty$에서 가장 큰 기여분은 아래 방정식이 만족될 때 얻어진다: |
| $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$$ | $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$$ | ||
| 이는 위에서 구한 $m = \tanh \beta (Jm+h)$와 같은 식이다. | 이는 위에서 구한 $m = \tanh \beta (Jm+h)$와 같은 식이다. | ||
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| 여기에서 $m$은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도 $m$이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식 | 여기에서 $m$은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도 $m$이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식 | ||
| $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ | ||
| - | 에 최급경강하 | + | 에 [[수학: |
| $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$$ | $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$$ | ||
| 이 되면서 $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$임을 확인할 수 있다. | 이 되면서 $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$임을 확인할 수 있다. | ||