물리:프랙탈_차원

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물리:프랙탈_차원 [2022/01/18 15:37] – sanghun물리:프랙탈_차원 [2022/01/18 15:48] – sanghun
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 프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다.\\ 프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다.\\
-{{ :물리:Koch.png?300 |}}[1]\\ {{ :물리:mandelbrot_set.jpg?300 |}}[2]\\ +{{ :물리:Koch.png?300 |}} {{ :물리:mandelbrot_set.jpg?300 |}}\\ 
-프랙탈은 [[수학:코흐_곡선 | 코흐 곡선 (Koch curve)]](왼쪽 그림)와 같이 완전히 같은 모양이 반복될 수도 있고(exact), Mandelbrot set(오른쪽 그림)과 같이 완전히 같지는 않지만 비슷한 모양이 반복될 수도 있으며(approximate), time series와 같이 확률적으로 프랙탈일 수도 있는(statistical) 등 다양한 종류가 있는 것을 확인할 수 있다.+프랙탈은 [[수학:코흐_곡선 | 코흐 곡선 (Koch curve)]](첫 번째 그림)와 같이 완전히 같은 모양이 반복될 수도 있고(exact), Mandelbrot set(두 번째 그림)과 같이 완전히 같지는 않지만 비슷한 모양이 반복될 수도 있으며(approximate), time series와 같이 확률적으로 프랙탈일 수도 있는(statistical) 등 다양한 종류가 있는 것을 확인할 수 있다.
  
 ======프랙탈 차원====== ======프랙탈 차원======
 프랙탈 차원(fractal dimension)은 프랙탈 기하학에서 공간에 패턴을 얼마나 조밀하게 채우는지 나타내는 비율을 말한다. 프랙탈 차원(fractal dimension)은 프랙탈 기하학에서 공간에 패턴을 얼마나 조밀하게 채우는지 나타내는 비율을 말한다.
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 {{ :물리:i.png?300 |}}\\ {{ :물리:i.png?300 |}}\\
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 $d_A$를 여기서 프랙탈의 차원이라고 정의한다. $d_A$를 여기서 프랙탈의 차원이라고 정의한다.
  
-식을 이해하기 위해 예를 통해 알아보자. +식을 이해하기 위해 예를 통해 알아보자. 위의 시어핀스키 삼각형에서 각 요소에 대해 프랙탈 차원을 구해볼 것이다. 위의 삼각형에서 스케일 팩터 b는 2이다.\\ 
-위의 시어핀스키 삼각형에서 각 요소에 대해 프랙탈 차원을 구해볼 것이다. 위의 삼각형에서 스케일 팩터 b는 2이다. + 
-길이에 대한 프랙탈 차원을 구할 것인데, 삼각형 한 변의 길이를 1이라고 하면, SI 과정을 한 번 거치기 전의 삼각형 둘레는 3이고 거친 이후의 둘레는 9이다. 이와 같이 과정을 거칠 때마다 3배씩 늘어나므로 다음과 같이 계산을 할 수 있다.+첫 번째로 길이에 대한 프랙탈 차원을 구할 것인데, 삼각형 한 변의 길이를 1이라고 하면, SI 과정을 한 번 거치기 전의 삼각형 둘레는 3이고 거친 이후의 둘레는 9이다. 이와 같이 과정을 거칠 때마다 3배씩 늘어나므로 다음과 같이 계산을 할 수 있다.
  
 \begin{equation} \begin{equation}
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 \end{equation} \end{equation}
  
-삼각형이 채워진 면적에 대해서도 똑같이 3배씩 증가하므로, 같은 방법으로 계산을 할 수 있다.+두 번째로 삼각형이 채워진 면적에 대해서도 똑같이 3배씩 증가하므로, 같은 방법으로 계산을 할 수 있다.
  
 \begin{equation} \begin{equation}
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 \end{equation} \end{equation}
  
-조금 더 깊게 들어가서, 삼각형이 채워진 이외의 빈 부분의 면적에 대해서도 확인해볼 것이다. 그림에서 맨 왼쪽의 삼각형 하나의 면적을 1이라고 하면, 빈 공간의 넓이는 전체 삼각형의 넓이에서 채워진 삼각형의 넓이를 뺀 값과 같다. 전체 삼각형의 넓이는 $4^n$, 빈 공간의 넓이는 $3^n$으로 계산 가능하므로, 계산하면 다음과 같다.+세 번째로 조금 더 깊게 들어가서 삼각형이 채워진 이외의 빈 부분의 면적에 대해서도 확인해볼 것이다. 그림에서 맨 왼쪽의 삼각형 하나의 면적을 1이라고 하면, 빈 공간의 넓이는 전체 삼각형의 넓이에서 채워진 삼각형의 넓이를 뺀 값과 같다. 전체 삼각형의 넓이는 $4^n$, 빈 공간의 넓이는 $3^n$으로 계산 가능하므로, 계산하면 다음과 같다.
  
 \begin{equation} \begin{equation}
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 ======그림 출처====== ======그림 출처======
-[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake\\ +  * https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake\\ 
-[2] https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg+  * https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg
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