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--- 물리:현의_진동 [2016/05/18 22:17] – [연속체 극한] admin
+++ 물리:현의_진동 [2016/08/16 16:49] – [참고 문헌] admin
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 ======개요======
-가로로 놓인 현을 용수철로 연결된 질점들의 무수한 연쇄로 생각해서 에너지와 [[:물리:라그랑지언]]을 적고 이로부터 파동방정식을 유도한다. 질점의 질량은 $m$, 용수철 상수는 $K$라고 놓을 것이다.
+가로로 놓인 현을 용수철로 연결된 질점들의 무수한 연쇄로 생각해서 에너지와 [[:물리:라그랑지언]]을 적고 이로부터 [[:물리:파동방정식]]을 유도한다. 질점의 질량은 $m$, 용수철 상수는 $K$라고 놓을 것이다.
 이 때 현에는 중력을 무시해도 좋을 만큼 충분히 큰 장력 $\tau$가 걸려 있으며 파동으로 인해 생기는 장력의 변화는 매우 작다고 본다. 파동은 횡파를 고려하여 각 질점은 세로 방향으로만 움직인다고 보는데 그 세로 방향의 변위 역시 충분히 작다고 가정할 것이다.
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 위치 에너지 계산을 위해 현이 진동하기 전 평형 상태에서 질점들 사이 거리가 $a$라고 해보자. 현이 진동하면서 $i$번째 질점의 세로 방향 변위가 $y_i$, 그 다음 질점의 변위가 $y_{i+1}$이 되었다고 하자. 그 둘의 차이를 $\Delta y = y_{i+1}-y_i$라고 부르면, 처음의 거리 $a$에 비해서 늘어난 거리는 피타고라스 정리에 의해
 $$\Delta l = \sqrt{a^2 + \Delta y^2} - a \approx a \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{a} \right)^2 \right] - a = \frac{1}{2}a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2.$$
+여기에서 $\epsilon \ll 1$에 대해 $(1+\epsilon)^n \approx 1+n\epsilon$라는 근사식이 사용되었다.
 따라서 장력 $\tau$에 대해 한 일이 위치 에너지가 된다고 보면 위치 에너지의 총량은
 $$V = \sum_i \frac{1}{2} \tau a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2$$
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 [[:물리:조화 고체]]
-======참고 문헌======
+======참고문헌======
   * D. Sober, [[http://faculty.cua.edu/sober/612/Lagrangian_wave_eq.pdf|Two Lagrangian approaches to the wave equation]]