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| 물리:현의_진동 [2016/05/18 22:15] – [연속체 극한] admin | 물리:현의_진동 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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| - | 가로로 놓인 현을 용수철로 연결된 질점들의 무수한 연쇄로 생각해서 에너지와 [[: | + | 가로로 놓인 현을 용수철로 연결된 질점들의 무수한 연쇄로 생각해서 에너지와 [[: |
| 이 때 현에는 중력을 무시해도 좋을 만큼 충분히 큰 장력 $\tau$가 걸려 있으며 파동으로 인해 생기는 장력의 변화는 매우 작다고 본다. 파동은 횡파를 고려하여 각 질점은 세로 방향으로만 움직인다고 보는데 그 세로 방향의 변위 역시 충분히 작다고 가정할 것이다. | 이 때 현에는 중력을 무시해도 좋을 만큼 충분히 큰 장력 $\tau$가 걸려 있으며 파동으로 인해 생기는 장력의 변화는 매우 작다고 본다. 파동은 횡파를 고려하여 각 질점은 세로 방향으로만 움직인다고 보는데 그 세로 방향의 변위 역시 충분히 작다고 가정할 것이다. | ||
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| 위치 에너지 계산을 위해 현이 진동하기 전 평형 상태에서 질점들 사이 거리가 $a$라고 해보자. 현이 진동하면서 $i$번째 질점의 세로 방향 변위가 $y_i$, 그 다음 질점의 변위가 $y_{i+1}$이 되었다고 하자. 그 둘의 차이를 $\Delta y = y_{i+1}-y_i$라고 부르면, 처음의 거리 $a$에 비해서 늘어난 거리는 피타고라스 정리에 의해 | 위치 에너지 계산을 위해 현이 진동하기 전 평형 상태에서 질점들 사이 거리가 $a$라고 해보자. 현이 진동하면서 $i$번째 질점의 세로 방향 변위가 $y_i$, 그 다음 질점의 변위가 $y_{i+1}$이 되었다고 하자. 그 둘의 차이를 $\Delta y = y_{i+1}-y_i$라고 부르면, 처음의 거리 $a$에 비해서 늘어난 거리는 피타고라스 정리에 의해 | ||
| $$\Delta l = \sqrt{a^2 + \Delta y^2} - a \approx a \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{a} \right)^2 \right] - a = \frac{1}{2}a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2.$$ | $$\Delta l = \sqrt{a^2 + \Delta y^2} - a \approx a \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{a} \right)^2 \right] - a = \frac{1}{2}a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2.$$ | ||
| + | 여기에서 $\epsilon \ll 1$에 대해 $(1+\epsilon)^n \approx 1+n\epsilon$라는 근사식이 사용되었다. | ||
| 따라서 장력 $\tau$에 대해 한 일이 위치 에너지가 된다고 보면 위치 에너지의 총량은 | 따라서 장력 $\tau$에 대해 한 일이 위치 에너지가 된다고 보면 위치 에너지의 총량은 | ||
| $$V = \sum_i \frac{1}{2} \tau a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2$$ | $$V = \sum_i \frac{1}{2} \tau a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2$$ | ||
| Line 30: | Line 31: | ||
| $$\frac{y(x+dx, | $$\frac{y(x+dx, | ||
| 로 쓸 수 있다. $x$와 $t$를 독립변수로 취했을 때의 [[: | 로 쓸 수 있다. $x$와 $t$를 독립변수로 취했을 때의 [[: | ||
| - | $$L = \iint \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right) dx~ dt$$ | + | $$L = \iint \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right) |
| 이다. 라그랑지언 밀도 $L_1 = \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right)$를 정의한 다음 | 이다. 라그랑지언 밀도 $L_1 = \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right)$를 정의한 다음 | ||
| 이 두 변수 모두에 대해 [[: | 이 두 변수 모두에 대해 [[: | ||
| Line 37: | Line 38: | ||
| 혹은 위에서 구한 운동방정식에 극한을 취함으로써 같은 결과를 얻을 수도 있다: | 혹은 위에서 구한 운동방정식에 극한을 취함으로써 같은 결과를 얻을 수도 있다: | ||
| - | $$\rho ~dx~ \ddot{y} = \tau~dx \left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} \left(x+\frac{dx}{2}\right) - \frac{\partial y}{\partial x} \left(x-\frac{dx}{2}\right)}{dx} \right] = \tau~dx~\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.$$ | + | $$\rho ~dx~ \ddot{y} = \tau~dx \left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} \left(x+\frac{dx}{2},t\right) - \frac{\partial y}{\partial x} \left(x-\frac{dx}{2},t \right)}{dx} \right] = \tau~dx~\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.$$ |
| ======함께 보기====== | ======함께 보기====== | ||
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| - | ======참고 문헌====== | + | ======참고문헌====== |
| * D. Sober, [[http:// | * D. Sober, [[http:// | ||