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--- 물리:흑체복사 [2018/08/13 18:23] – [고전 이론] admin
+++ 물리:흑체복사 [2018/08/14 14:14] – admin
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 ======고전 이론======
-어떤 [[물리:조화진동자]]가 온도 $T$인 희박한 공기에 둘러싸여 공기 분자와 충돌할 때, [[물리:등분배 정리]]에 따라 열평형 상태에서 이 진동자의 에너지는 $k_B T$일 것이다. 그러나 만일 이 진동자가 전하를 띠고 있다면 진동하는 전하는 빛을 방출하기 때문에 온도 $T$에서 열평형을 이루지 못하고 공기 전체가 천천히 식게 될 것이다.
+어떤 [[물리:조화진동자]]가 온도 $T$인 희박한 공기에 둘러싸여 공기 분자와 충돌하고 있다고 하자. 방향성을 없애기 위해 $x$, $y$, $z$ 방향으로 모두 진동한다고 보면 [[물리:등분배 정리]]에 따라 열평형 상태에서 이 진동자의 에너지는 $3 k_B T$이다.
+이 진동자가 전하를 띠고 있다면 진동하는 전하는 빛을 방출하기 때문에 온도 $T$에서 열평형을 이루지 못하고 공기 전체가 천천히 식게 될 것이다.
 이제 진동하는 전하와 그것을 둘러싼 공기 전체를 거울벽으로 이루어진 상자 안에 집어넣는다. 그러면 방출된 빛이 상자에 갇혀서 그 안을 떠돌다가 다시 진동자로 흡수되어 진동자의 운동 에너지를 끌어올리고, 이런 방출과 재흡수의 과정이 반복되면서 열평형을 이룩할 수 있다. 이 상자의 온도가 $T$일 때 상자 안에 얼마나 많은 양의 전자기파가 존재할지 고전적으로 계산할 수 있다.
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 공기가 충분히 희박해서 진동자가 복사 저항만을 가진다고 하자. 진동자의 평균 에너지가 $k_B T$일 때 그것이 얼마만큼의 빛을 방출할지 계산할 수 있다. 다음으로 이렇게 방출된 양은 진동자로 비추어진 빛이 산란되는 양과 정확히 같을 것이다.
+감쇠 계수를 $\gamma$라고 놓는다. 이는 방출되는 에너지가
+$$\frac{dW}{dt} = \gamma W = 3 \gamma k_B T$$
+에 해당한다는 의미이다. 감쇠 계수는 전자기 이론으로부터
+$$\gamma = \frac{2}{3} \frac{r_0 \omega_0^2}{c}$$
+로 주어지는데, 이 때 $r_0 = e^2 / (mc^2)$은 전자의 고전적 반지름이며 $\omega_0$는 진동자의 고유 진동수이다.
+이제 진동자로 흡수되는 빛의 양을 구하자. $I(\omega) d\omega$가 단위시간당 단위면적을 통과하는 빛 중 $[\omega, \omega+d\omega]$의 구간 사이에 존재하는 빛의 에너지 양이라고 놓는다. 이 중 진동자에 의해 흡수되는 양은 단면적(cross section)을 통해 계산할 수 있다. 조화진동자의 경우 단면적은
+$$\sigma_s = \frac{8 \pi r_0^2}{3} \left[ \frac{\omega^4}{(\omega^2- \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} \right]$$
+으로 구해진다. $\gamma \ll \omega_0$이어서 이 식이 $\omega = \omega_0$에서 멀어지면 매우 작아지므로, 군데군데 $\omega$를 $\omega_0$로 고치고 $\omega^2 - \omega_0^2 = (\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0) \approx 2\omega_0 (\omega-\omega_0)$로 근사해서 다음처럼 적는다:
+$$\sigma_s \approx \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2}{(\omega-\omega_0)^2 + \gamma^2/4}$$
+같은 이유에서 $I(\omega) \approx I(\omega_0)$로 근사하고, 적분 구간을 $[-\infty,\infty]$로 확장한다.
+따라서 흡수되는 빛의 에너지는
+$$\frac{dW_s}{dt} = \int_0^\infty I(\omega) \sigma_s(\omega) d\omega \approx \int_{-\infty}^\infty \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2 I(\omega_0) d\omega}{3[(\omega-\omega_0)^2 + \gamma^2/4]} = \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2 I(\omega_0)}{3} \frac{2\pi}{\gamma}$$
+이며 이것이 $3\gamma k_B T$와 같아야 한다. 따라서
+$$I(\omega_0) = \frac{9\gamma^2 k_B T}{4\pi^2 r_0^2 \omega_0^2}$$
+이며 이것이 모든 $\omega_0$에 대해 성립하므로
+$$I(\omega) = \frac{9\gamma^2 k_B T}{4\pi^2 r_0^2 \omega_0}$$
+이다. 여기에 위에서 구한 $\gamma$를 대입하면
+$$I(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{\pi^2 c^2}$$
+을 얻는다. 이것이 레일리가 구한 흑체복사의 고전적인 결과이다. 이는 모든 방향에 대해 합산한 결과이고, 보통 나타내는 식은 스펙트럼 휘도로서 위의 식을 $4\pi$로 나눈
+$$B(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{4\pi^3 c^2}$$
+혹은 주파수 $\nu = \omega/(2\pi)$의 함수로 나타낸
+$$B(\nu) = B(\omega) \frac{d\omega}{d\nu} = \frac{2\nu^2 k_B T}{c^2}$$
+이다.
+상태 밀도(density of states)를 통해 접근할 수도 있다. $L \times L \times L$의 정육면체 상자 안에 들어있는 파동을 생각하고 상자 면에서 진폭이 $0$이라고 경계조건을 설정한다. 그러면 파수가 $[k, k+dk]$의 범위에 있는 상태의 수는 대략
+$$D(k) dk = \frac{L^3}{\pi^2} k^2 dk$$
+이다. 이 과정에서 빛의 편광이 두 종류라는 점을 고려하였다. 각각의 모드가 [[물리:등분배 정리]]에 의해 에너지 $k_B T$만큼을 가져간다고 보면 이 구간에 들어있는 단위부피당 에너지는
+$$u(k) dk = \frac{D(k) k_B T}{L^3} dk = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} dk$$
+이다. $k = 2\pi \nu /c$를 사용하면
+$$u(\nu) = u(k) \frac{dk}{d\nu} = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} \frac{dk}{d\nu} = \frac{8\pi \nu^2 k_B T}{c^3} = \frac{4\pi}{c} B(\nu)$$
+의 결과를 얻는다.