물리:흑체복사

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물리:흑체복사 [2017/11/23 19:45] admin물리:흑체복사 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 +======고전 이론======
 +어떤 [[물리:조화진동자]]가 온도 $T$인 희박한 공기에 둘러싸여 공기 분자와 충돌하고 있다고 하자. 방향성을 없애기 위해 $x$, $y$, $z$ 방향으로 모두 진동한다고 보면 [[물리:등분배 정리]]에 따라 열평형 상태에서 이 진동자의 에너지는 $3 k_B T$이다.
 +
 +이 진동자가 전하를 띠고 있다면 진동하는 전하는 빛을 방출하기 때문에 온도 $T$에서 열평형을 이루지 못하고 공기 전체가 천천히 식게 될 것이다.
 +
 +이제 진동하는 전하와 그것을 둘러싼 공기 전체를 거울벽으로 이루어진 상자 안에 집어넣는다. 그러면 방출된 빛이 상자에 갇혀서 그 안을 떠돌다가 다시 진동자로 흡수되어 진동자의 운동 에너지를 끌어올리고, 이런 방출과 재흡수의 과정이 반복되면서 열평형을 이룩할 수 있다. 이 상자의 온도가 $T$일 때 상자 안에 얼마나 많은 양의 전자기파가 존재할지 고전적으로 계산할 수 있다.
 +
 +공기가 충분히 희박해서 진동자가 복사 저항만을 가진다고 하자. 진동자의 평균 에너지가 $k_B T$일 때 그것이 얼마만큼의 빛을 방출할지 계산할 수 있다. 다음으로 이렇게 방출된 양은 진동자로 비추어진 빛이 산란되는 양과 정확히 같을 것이다.
 +
 +감쇠 계수를 $\gamma$라고 놓는다. 이는 방출되는 에너지가
 +$$\frac{dW}{dt} = \gamma W = 3 \gamma k_B T$$
 +에 해당한다는 의미이다. 감쇠 계수는 전자기 이론으로부터
 +$$\gamma = \frac{2}{3} \frac{r_0 \omega_0^2}{c}$$
 +로 주어지는데, 이 때 $r_0 = e^2 / (mc^2)$은 전자의 고전적 반지름이며 $\omega_0$는 진동자의 고유 진동수이다.
 +
 +이제 진동자로 흡수되는 빛의 양을 구하자. $I(\omega) d\omega$가 단위시간당 단위면적을 통과하는 빛 중 $[\omega, \omega+d\omega]$의 구간 사이에 존재하는 빛의 에너지 양이라고 놓는다. 이 중 진동자에 의해 흡수되는 양은 단면적(cross section)을 통해 계산할 수 있다. 조화진동자의 경우 단면적은
 +$$\sigma_s = \frac{8 \pi r_0^2}{3} \left[ \frac{\omega^4}{(\omega^2- \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} \right]$$
 +으로 구해진다. $\gamma \ll \omega_0$이어서 이 식이 $\omega = \omega_0$에서 멀어지면 매우 작아지므로, 군데군데 $\omega$를 $\omega_0$로 고치고 $\omega^2 - \omega_0^2 = (\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0) \approx 2\omega_0 (\omega-\omega_0)$로 근사해서 다음처럼 적는다:
 +$$\sigma_s \approx \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2}{(\omega-\omega_0)^2 + \gamma^2/4}$$
 +같은 이유에서 $I(\omega) \approx I(\omega_0)$로 근사하고, 적분 구간을 $[-\infty,\infty]$로 확장한다.
 +따라서 흡수되는 빛의 에너지는
 +$$\frac{dW_s}{dt} = \int_0^\infty I(\omega) \sigma_s(\omega) d\omega \approx \int_{-\infty}^\infty \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2 I(\omega_0) d\omega}{3[(\omega-\omega_0)^2 + \gamma^2/4]} = \frac{2\pi r_0^2 \omega_0^2 I(\omega_0)}{3} \frac{2\pi}{\gamma}$$
 +이며 이것이 $3\gamma k_B T$와 같아야 한다. 따라서
 +$$I(\omega_0) = \frac{9\gamma^2 k_B T}{4\pi^2 r_0^2 \omega_0^2}$$
 +이며 이것이 모든 $\omega_0$에 대해 성립하므로
 +$$I(\omega) = \frac{9\gamma^2 k_B T}{4\pi^2 r_0^2 \omega_0}$$
 +이다. 여기에 위에서 구한 $\gamma$를 대입하면
 +$$I(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{\pi^2 c^2}$$
 +을 얻는다. 이것이 레일리가 구한 흑체복사의 고전적인 결과이다. 이는 모든 방향에 대해 합산한 결과이고, 보통 나타내는 식은 스펙트럼 휘도로서 위의 식을 $4\pi$로 나눈
 +$$B(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{4\pi^3 c^2}$$
 +혹은 주파수 $\nu = \omega/(2\pi)$의 함수로 나타낸
 +$$B(\nu) = B(\omega) \frac{d\omega}{d\nu} = \frac{2\nu^2 k_B T}{c^2}$$
 +이다.
 +
 +상태 밀도(density of states)를 통해 접근할 수도 있다. $L \times L \times L$의 정육면체 상자 안에 들어있는 파동을 생각하고 상자 면에서 진폭이 $0$이라고 경계조건을 설정한다. 그러면 파수가 $[k, k+dk]$의 범위에 있는 상태의 수는 대략
 +$$D(k) dk = \frac{L^3}{\pi^2} k^2 dk$$
 +이다. 이 과정에서 빛의 편광이 두 종류라는 점을 고려하였다. 각각의 모드가 [[물리:등분배 정리]]에 의해 에너지 $k_B T$만큼을 가져간다고 보면 이 구간에 들어있는 단위부피당 에너지는
 +$$u(k) dk = \frac{D(k) k_B T}{L^3} dk = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} dk$$
 +이다. $k = 2\pi \nu /c$를 사용하면
 +$$u(\nu) = u(k) \frac{dk}{d\nu} = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} \frac{dk}{d\nu} = \frac{8\pi \nu^2 k_B T}{c^3} = \frac{4\pi}{c} B(\nu)$$
 +의 결과를 얻는다.
 +
 +
 ======전자기장의 양자화====== ======전자기장의 양자화======
 완벽히 반사하는 거울로 둘러싸인, 부피 $V$인 공동(cavity)을 고려하자. 자유 공간을 고려한다면 계산의 끝에서 이 부피를 무한대로 취하면 된다. 우리는 여기에서 주로 하나의 모드만을 고려할 것인데, 그러면 $\hat{x}$ 방향으로 편광된 고전적인 단색광은 다음의 형태를 가진다: 완벽히 반사하는 거울로 둘러싸인, 부피 $V$인 공동(cavity)을 고려하자. 자유 공간을 고려한다면 계산의 끝에서 이 부피를 무한대로 취하면 된다. 우리는 여기에서 주로 하나의 모드만을 고려할 것인데, 그러면 $\hat{x}$ 방향으로 편광된 고전적인 단색광은 다음의 형태를 가진다:
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 $$\mathbf{B}(z,t) = \frac{\hat{y}}{c^2 k} \dot{q}(t) \sqrt{\frac{2\omega^2}{\epsilon_0 V}} \cos kz$$ $$\mathbf{B}(z,t) = \frac{\hat{y}}{c^2 k} \dot{q}(t) \sqrt{\frac{2\omega^2}{\epsilon_0 V}} \cos kz$$
 로 주어진다. 고전적으로, 전자기장의 에너지 밀도는 로 주어진다. 고전적으로, 전자기장의 에너지 밀도는
-$u = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 \right]$이고 해당하는 [[물리:해밀토니]]은+$u = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 \right]$이고 해당하는 [[물리:해밀토니]]은
 $H = \frac{1}{2} \int_V dV \left[ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 \right]$이다. $H = \frac{1}{2} \int_V dV \left[ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 \right]$이다.
 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$에 대한 위의 식들을 여기 대입하면 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$에 대한 위의 식들을 여기 대입하면
 $H = \frac{1}{2} \left( \omega^2 q^2 + p^2 \right)$을 얻는다. $H = \frac{1}{2} \left( \omega^2 q^2 + p^2 \right)$을 얻는다.
-이는 단위 질량을 지니는 [[물리:조화진동자]]의 [[물리:해밀토니]]과 같은 형태이다.+이는 단위 질량을 지니는 [[물리:조화진동자]]의 [[물리:해밀토니]]과 같은 형태이다.
 따라서 [[물리:조화진동자]]의 양자화를 그대로 가져다써서 $a$와 $a^\dagger$를 각각 소멸연산자와 생성연산자로 정의한 다음 따라서 [[물리:조화진동자]]의 양자화를 그대로 가져다써서 $a$와 $a^\dagger$를 각각 소멸연산자와 생성연산자로 정의한 다음
 $$H = \hbar \omega \left( a^\dagger a + 1/2 \right)$$ $$H = \hbar \omega \left( a^\dagger a + 1/2 \right)$$
-로 쓸 수 있다. 이 [[물리:해밀토니]] 연산자의 고유상태 $|n\rangle$는+로 쓸 수 있다. 이 [[물리:해밀토니]] 연산자의 고유상태 $|n\rangle$는
 $H|n\rangle = \hbar \omega \left( a^\dagger a + 1/2 \right)|n\rangle$를 $H|n\rangle = \hbar \omega \left( a^\dagger a + 1/2 \right)|n\rangle$를
 만족하는데, 이 $n$을 광자의 개수로 해석할 수 있다. 상태 벡터는 이 고유상태들의 선형중첩 $|\psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$로 쓸 수 있다. 거꾸로, 전기장의 연산자는 만족하는데, 이 $n$을 광자의 개수로 해석할 수 있다. 상태 벡터는 이 고유상태들의 선형중첩 $|\psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$로 쓸 수 있다. 거꾸로, 전기장의 연산자는
 $E(z,t) = \sqrt{\frac{\hbar \omega}{\epsilon_0 V}} (a+a^\dagger) \sin kz$인데 $E(z,t) = \sqrt{\frac{\hbar \omega}{\epsilon_0 V}} (a+a^\dagger) \sin kz$인데
-이는 [[물리:해밀토니]] 연산자와 비가환 관계에 있다.+이는 [[물리:해밀토니]] 연산자와 비가환 관계에 있다.
  
  
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   *하지만 실험가들은 상대적으로 국소화된 (따라서 여러 모드를 지니는) 평균 에너지 $\hbar \omega$의 파동 묶음을 광자라고 부를 때도 많다. 이런 '입자적' 해석은 직관적으로 매력적이지만 정밀한 분석을 위해서는 때로 적합치 않다.   *하지만 실험가들은 상대적으로 국소화된 (따라서 여러 모드를 지니는) 평균 에너지 $\hbar \omega$의 파동 묶음을 광자라고 부를 때도 많다. 이런 '입자적' 해석은 직관적으로 매력적이지만 정밀한 분석을 위해서는 때로 적합치 않다.
   *더 흔하게는 단순히 전자기 복사 에너지를 $\hbar \omega$ 단위로 셈하는 데 광자라는 표현을 쓰는 것이다. 화학이나 원자 물리, 반도체 물리나 광공학에서 이런 일이 있는데, 여기에서 말하는 것은 사실 고전적인 전자기장이고 양자적 관점이 필요없다. 그저 '빛'을 듣기 좋게 부르는 것뿐이다.   *더 흔하게는 단순히 전자기 복사 에너지를 $\hbar \omega$ 단위로 셈하는 데 광자라는 표현을 쓰는 것이다. 화학이나 원자 물리, 반도체 물리나 광공학에서 이런 일이 있는데, 여기에서 말하는 것은 사실 고전적인 전자기장이고 양자적 관점이 필요없다. 그저 '빛'을 듣기 좋게 부르는 것뿐이다.
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 +관련해서 밀리컨의 1924년 노벨상 수상 강연도 흥미롭다 (강조는 원저자):
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 +In view of all these methods and experiments the general validity of Einstein’s equation is, I think, now universally conceded, and //to that extent the reality of Einstein’s light-quanta may be considered as experimentally established//. But the conception of //localized// light-quanta out of which Einstein got his equation must still be regarded as far from being established.
 +
 +이 모든 방법과 실험들에 비추어볼 때에 (광전효과에 관한) 아인슈타인 방정식의 타당성은 널리 인정받는다고 생각한다. 그리고 //그런 한에서 아인슈타인의 광양자가 가지는 실제성도 실험적으로 확립되었다고 생각해도 좋겠다//. 그러나 아인슈타인이 그의 방정식을 유도해낸, //국소화된// 광양자라고 하는 개념은 여전히 확립되지 않은 것으로 간주되어야만 한다.
 +
  
 =====정상파와 진행파===== =====정상파와 진행파=====
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 =====큰바른틀 모둠===== =====큰바른틀 모둠=====
 +큰바른틀에서의 퍼텐셜 $\Phi(T,V,\mu)$는 다음처럼 변화한다:
 +$$d\Phi = -S dT - P dV - \overline{N} d\mu.$$
 +이 때에 $\overline{N}$은 입자 수의 모둠 평균(ensemble average)이다. 평균 입자수는 따라서
 +$$\overline{N} = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right)_{T,V}$$
 +로 주어진다.
 +
 +입자의 수가 $N$으로 주어져 있을 때 미시상태의 확률밀도는
 +$$\rho(N; \vec{p}_1, \ldots, \vec{r}_N) = \frac{1}{Q} e^{\beta \mu N} \frac{1}{h^{3N} N!} e^{-\beta H_N}$$
 +이며 $H_N$은 $N$개 입자에 대한 [[물리:해밀토니안]]이다. $Q$는 기본적으로 정규화를 위한 상수로서
 +$$Q \equiv \sum_{N=0}^\infty \frac{e^{\beta \mu N}}{h^{3N} N!} \int d^{3N}p \int d^{3N}r e^{-\beta H_N} = \sum_{N=0}^\infty Z_N(T,V)$$
 +으로 정의된다. $Z_N$은 $N$개 입자에 대한 바른틀 모둠의 분배함수이다.
 +$\Phi = - \beta^{-1} \ln Q(T,V,\mu)$의 관계가 있을 때 위 문단의 $\overline{N}$의 식이 성립함은 쉽게 확인할 수 있다.
 +
 +$j$가 한 입자가 점유할 수 있는 상태이고 $\epsilon_j$가 그 상태의 에너지, $N_j$가 해당 상태에 있는 입자의 수라고 할 때 평균 입자수와 평균 에너지는 다음처럼 주어진다:
 +$$\overline{N} = \sum_j \left< N_j \right>$$
 +$$U = \sum_j \left< N_j \right> \epsilon_j$$
 +이 때
 +\begin{eqnarray}
 +Q &=& \sum_{N=0}^\infty e^{\beta \mu N} Z_N\\
 +&=& \sum_{N=0}^\infty e^{\beta \mu N} \underbrace{\sum_{N_0} \sum_{N_1} \ldots \sum_{N_j} \ldots}_{N_0 + N_1 + \ldots = N} e^{-\beta(N_0 \epsilon_0 + \ldots + N_j \epsilon_j + \ldots)}\\
 +&=& e^{\beta \mu N} \sum_{N_0} \sum_{N_1} \ldots \sum_{N_j} \ldots e^{-\beta(N_0 \epsilon_0 + \ldots + N_j \epsilon_j + \ldots)}\\
 +&=& \sum_{N_0} \sum_{N_1} \ldots \sum_{N_j} \ldots e^{-\beta[N_0 (\epsilon_0-\mu) + \ldots + N_j (\epsilon_j-\mu) + \ldots]}\\
 +&=& \sum_{N_0} e^{-\beta N_0 (\epsilon_0 - \mu)} \sum_{N_1} e^{-\beta N_1 (\epsilon_1 - \mu)} \ldots \sum_{N_j} e^{-\beta N_j (\epsilon_j - \mu)} \ldots\\
 +\end{eqnarray}
 +이기 때문에 다음을 얻는다:
 +$$\ln Q = \sum_{j=0}^\infty \ln \left( \sum_{N_j} e^{-\beta N_j (\epsilon_j - \mu)} \right).$$
 +보손의 경우 괄호 안의 무한등비급수를 계산하고 나면
 +$$\ln Q = -\sum_{j=0}^\infty \ln \left[ 1-e^{-\beta (\epsilon_j - \mu)} \right]$$
 +이다. 따라서 상태 $j$에서 평균 입자수는 다음과 같다:
 +\begin{eqnarray}
 +\left< N_j \right> &=& \frac{1}{Q} \sum_{N=0}^\infty \underbrace{\sum_{N_0} \sum_{N_1} \ldots \sum_{N_j} \ldots}_{N_0 + N_1 + \ldots = N} e^{-\beta \sum_l N_l (\epsilon_l - \mu)} N_j \\
 +&=& \frac{\partial}{\partial \epsilon_j} \left( -\beta^{-1} \ln Q \right) = \frac{1}{e^{\beta (\epsilon_j-\mu)}-1}.
 +\end{eqnarray}
  
 =====작은 바른틀 모둠===== =====작은 바른틀 모둠=====
Line 74: Line 157:
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
 +  *R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. L. Sands, //The Feynman Lectures on Physics//, Vol. I (Addison-Wesley, 1963, Reading, MA).
   *P. Meystre and M. Sargent III, //Elements of Quantum Optics//, 3rd ed. (Springer, Berlin, 1999).   *P. Meystre and M. Sargent III, //Elements of Quantum Optics//, 3rd ed. (Springer, Berlin, 1999).
   *B. W. Shore, P. Meystre, and S. Stenholm, //Is a quantum wave composed of two traveling waves?// J. Opt. Soc. Am. B 8, 903-910 (1991).   *B. W. Shore, P. Meystre, and S. Stenholm, //Is a quantum wave composed of two traveling waves?// J. Opt. Soc. Am. B 8, 903-910 (1991).
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