물리:흑체복사

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물리:흑체복사 [2018/08/14 11:55] – [고전 이론] admin물리:흑체복사 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 에 해당한다는 의미이다. 감쇠 계수는 전자기 이론으로부터 에 해당한다는 의미이다. 감쇠 계수는 전자기 이론으로부터
 $$\gamma = \frac{2}{3} \frac{r_0 \omega_0^2}{c}$$ $$\gamma = \frac{2}{3} \frac{r_0 \omega_0^2}{c}$$
-로 주어지는데, 이 때 $r_0 = e^2 / mc^2$은 전자의 고전적 반지름이며 $\omega_0$는 진동자의 고유 진동수이다.+로 주어지는데, 이 때 $r_0 = e^2 / (mc^2)$은 전자의 고전적 반지름이며 $\omega_0$는 진동자의 고유 진동수이다.
  
-이제 진동자로 흡수되는 빛의 양을 구하자. $I(\omega) d\omega$가 $[\omega, \omega+d\omega]$의 구간 사이에 존재하는 빛의 에너지 양이라고 놓는다. 이 중 흡수되는 양은 단면적(cross section)을 통해 계산할 수 있다. 조화진동자의 경우 단면적은+이제 진동자로 흡수되는 빛의 양을 구하자. $I(\omega) d\omega$가 단위시간당 단위면적을 통과하는 빛 중 $[\omega, \omega+d\omega]$의 구간 사이에 존재하는 빛의 에너지 양이라고 놓는다. 이 중 진동자에 의해 흡수되는 양은 단면적(cross section)을 통해 계산할 수 있다. 조화진동자의 경우 단면적은
 $$\sigma_s = \frac{8 \pi r_0^2}{3} \left[ \frac{\omega^4}{(\omega^2- \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} \right]$$ $$\sigma_s = \frac{8 \pi r_0^2}{3} \left[ \frac{\omega^4}{(\omega^2- \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} \right]$$
 으로 구해진다. $\gamma \ll \omega_0$이어서 이 식이 $\omega = \omega_0$에서 멀어지면 매우 작아지므로, 군데군데 $\omega$를 $\omega_0$로 고치고 $\omega^2 - \omega_0^2 = (\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0) \approx 2\omega_0 (\omega-\omega_0)$로 근사해서 다음처럼 적는다: 으로 구해진다. $\gamma \ll \omega_0$이어서 이 식이 $\omega = \omega_0$에서 멀어지면 매우 작아지므로, 군데군데 $\omega$를 $\omega_0$로 고치고 $\omega^2 - \omega_0^2 = (\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0) \approx 2\omega_0 (\omega-\omega_0)$로 근사해서 다음처럼 적는다:
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 이다. 여기에 위에서 구한 $\gamma$를 대입하면 이다. 여기에 위에서 구한 $\gamma$를 대입하면
 $$I(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{\pi^2 c^2}$$ $$I(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{\pi^2 c^2}$$
-을 얻는다. 이것이 레일리가 구한 흑체복사의 고전적인 결과이다.+을 얻는다. 이것이 레일리가 구한 흑체복사의 고전적인 결과이다. 이는 모든 방향에 대해 합산한 결과이고, 보통 나타내는 식은 스펙트럼 휘도로서 위의 식을 $4\pi$로 나눈 
 +$$B(\omega) = \frac{\omega^2 k_B T}{4\pi^3 c^2}$$ 
 +혹은 주파수 $\nu = \omega/(2\pi)$의 함수로 나타낸 
 +$$B(\nu) = B(\omega) \frac{d\omega}{d\nu} = \frac{2\nu^2 k_B T}{c^2}$$ 
 +이다. 
 + 
 +상태 밀도(density of states)를 통해 접근할 수도 있다. $L \times L \times L$의 정육면체 상자 안에 들어있는 파동을 생각하고 상자 면에서 진폭이 $0$이라고 경계조건을 설정한다. 그러면 파수가 $[k, k+dk]$의 범위에 있는 상태의 수는 대략 
 +$$D(k) dk = \frac{L^3}{\pi^2} k^2 dk$$ 
 +이다. 이 과정에서 빛의 편광이 두 종류라는 점을 고려하였다. 각각의 모드가 [[물리:등분배 정리]]에 의해 에너지 $k_B T$만큼을 가져간다고 보면 이 구간에 들어있는 단위부피당 에너지는 
 +$$u(k) dk = \frac{D(k) k_B T}{L^3} dk = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} dk$$ 
 +이다. $k = 2\pi \nu /c$를 사용하면 
 +$$u(\nu) = u(k) \frac{dk}{d\nu} = \frac{k^2 k_B T}{\pi^2} \frac{dk}{d\nu} = \frac{8\pi \nu^2 k_B T}{c^3} = \frac{4\pi}{c} B(\nu)$$ 
 +의 결과를 얻는다. 
 + 
 ======전자기장의 양자화====== ======전자기장의 양자화======
 완벽히 반사하는 거울로 둘러싸인, 부피 $V$인 공동(cavity)을 고려하자. 자유 공간을 고려한다면 계산의 끝에서 이 부피를 무한대로 취하면 된다. 우리는 여기에서 주로 하나의 모드만을 고려할 것인데, 그러면 $\hat{x}$ 방향으로 편광된 고전적인 단색광은 다음의 형태를 가진다: 완벽히 반사하는 거울로 둘러싸인, 부피 $V$인 공동(cavity)을 고려하자. 자유 공간을 고려한다면 계산의 끝에서 이 부피를 무한대로 취하면 된다. 우리는 여기에서 주로 하나의 모드만을 고려할 것인데, 그러면 $\hat{x}$ 방향으로 편광된 고전적인 단색광은 다음의 형태를 가진다:
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   *하지만 실험가들은 상대적으로 국소화된 (따라서 여러 모드를 지니는) 평균 에너지 $\hbar \omega$의 파동 묶음을 광자라고 부를 때도 많다. 이런 '입자적' 해석은 직관적으로 매력적이지만 정밀한 분석을 위해서는 때로 적합치 않다.   *하지만 실험가들은 상대적으로 국소화된 (따라서 여러 모드를 지니는) 평균 에너지 $\hbar \omega$의 파동 묶음을 광자라고 부를 때도 많다. 이런 '입자적' 해석은 직관적으로 매력적이지만 정밀한 분석을 위해서는 때로 적합치 않다.
   *더 흔하게는 단순히 전자기 복사 에너지를 $\hbar \omega$ 단위로 셈하는 데 광자라는 표현을 쓰는 것이다. 화학이나 원자 물리, 반도체 물리나 광공학에서 이런 일이 있는데, 여기에서 말하는 것은 사실 고전적인 전자기장이고 양자적 관점이 필요없다. 그저 '빛'을 듣기 좋게 부르는 것뿐이다.   *더 흔하게는 단순히 전자기 복사 에너지를 $\hbar \omega$ 단위로 셈하는 데 광자라는 표현을 쓰는 것이다. 화학이나 원자 물리, 반도체 물리나 광공학에서 이런 일이 있는데, 여기에서 말하는 것은 사실 고전적인 전자기장이고 양자적 관점이 필요없다. 그저 '빛'을 듣기 좋게 부르는 것뿐이다.
 +
 +관련해서 밀리컨의 1924년 노벨상 수상 강연도 흥미롭다 (강조는 원저자):
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 +In view of all these methods and experiments the general validity of Einstein’s equation is, I think, now universally conceded, and //to that extent the reality of Einstein’s light-quanta may be considered as experimentally established//. But the conception of //localized// light-quanta out of which Einstein got his equation must still be regarded as far from being established.
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 +이 모든 방법과 실험들에 비추어볼 때에 (광전효과에 관한) 아인슈타인 방정식의 타당성은 널리 인정받는다고 생각한다. 그리고 //그런 한에서 아인슈타인의 광양자가 가지는 실제성도 실험적으로 확립되었다고 생각해도 좋겠다//. 그러나 아인슈타인이 그의 방정식을 유도해낸, //국소화된// 광양자라고 하는 개념은 여전히 확립되지 않은 것으로 간주되어야만 한다.
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 =====정상파와 진행파===== =====정상파와 진행파=====
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