부피 $V$인 상자에 $N$개의 입자가 들어있고, 기체 상태에 있다고 생각해보자. 만약 각각의 입자의 위치와 운동량을 모두 고려하면서 계를 기술하려면 총 $6N$개의 좌표가 필요할텐데 이는 비현실적이다. 예를 들어 평형상태에 있는 기체의 압력을 계산하려면 하나의 입자에 대한 분포만 알고 있으면 충분하다. $6N$개의 좌표로 기술되는 밀도를 $\rho(\mathbf p, \mathbf q, t)$라고 하자. 그렇다면 특정 시간 $t$에서, 하나의 입자가 위치 $\vec q$와 $\vec p$를 가지고 있는 기댓값은 다음과 같다. \begin{align*} f_1(\vec p,\vec q, t) &= \left\langle\sum_{i=1}^N\delta^3(\vec p -\vec p_i)\delta^3(\vec q -\vec q_i)\right\rangle\\ &=N\left\langle\delta^3(\vec p -\vec p_1)\delta^3(\vec q -\vec q_1)\right\rangle\\ &= N\int \prod_{i=2}^N d^3p_id^3q_i \rho(\vec p_1 = \vec p, \vec q_1 = \vec q, \cdots, t) \end{align*}

이와 비슷하게 두 입자에 대한 기댓값은

$$ f_2(\vec p_1,\vec q_1,\vec p_2,\vec q_2, t) =N(N-1)\int \prod_{i=3}^N d^3p_id^3q_i \rho(\mathbf p, \mathbf q, t) $$

이고, 일반적으로 $s$개의 입자에 대한 기댓값은

\begin{align*} f_2(\vec p_1,\vec q_1,\vec p_2,\vec q_2,\cdots,\vec q_s, t) &=\frac{N!}{(N-s)!}\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \rho(\mathbf p, \mathbf q, t)\\ &= \frac{N!}{(N-s)!}\rho_s(\vec p_1,\dots,\vec q_s,t) \end{align*} 로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_s$는 $s$개 입자에 대한 밀도이다.

이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자. $$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ $U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. 현재 우리의 관심사는 $\rho_s$의 시간변화이기 때문에 위 해밀토니안을 세 부분으로 나누어보도록 하자. $$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$ $$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ $$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$

여기에 리우빌 정리를 적용하면, $\rho_s$의 시간변화는

$$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho,H_s+H_{N-s}+H'\}$$

로 주어진다.

$$\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \{\rho,H_s\} = \left\{\left(\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \rho\right),H_s\right\} = \{\rho_s,H_s\}$$

푸아송 괄호를 모두 풀어서 적어보면 \begin{align*} \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\{\rho,H_{N-s}\} &= \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right] \end{align*} 이고, $s+1\le j\le N$인 $j$에 대해 \begin{align*} \frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j} &= \frac{\vec p_j}{m}\\ \frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j} &= \frac{\partial U(\vec q_j)}{\partial\vec q_j} + \frac12\sum_{k=s+1}\frac{V(\vec q_j-\vec q_k)}{\partial\vec q_j} \end{align*} 이므로 \begin{align*} &= \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=s+1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\vec p_j}{m}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\left(\frac{\partial U(\vec q_j)}{\partial\vec q_j} + \frac12\sum_{k=s+1}\frac{V(\vec q_j-\vec q_k)}{\partial\vec q_j}\right)\right] \end{align*} 이다. 위의 적분은 사실 $0$이 되는데 $j$하나를 골라서 적분해보면