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물리:bbgky_계층 [2022/04/21 21:59] – [푸아송 괄호 계산] jiwon | 물리:bbgky_계층 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 26: | Line 26: | ||
이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자. | 이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자. | ||
$$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | $$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | ||
- | $U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. | + | $U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. |
$$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$ | $$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$ | ||
$$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | $$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | ||
$$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$ | $$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$ | ||
- | 여기에 | + | $\rho_s$의 시간변화는 |
$$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho, | $$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho, | ||
- | |||
- | 로 주어진다. | ||
==== 푸아송 괄호 계산 ==== | ==== 푸아송 괄호 계산 ==== | ||
Line 76: | Line 74: | ||
&\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\ | &\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\ | ||
=&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\ | =&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\ | ||
- | =0 | + | =&0 |
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | 가 된다. 그리고 모든 입자는 | + | 가 된다. 그리고 |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
& | & | ||
Line 87: | Line 85: | ||
\frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s, | \frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s, | ||
$$ | $$ | ||
- | 를 얻는다. | + | 를 얻는다. 여기서 좌변은 현재 관심을 가지는 부분계에 대한 위상점의 시간변화를 나타낸다. 만일 외부 입자와의 상호작용이 없다면 부분계를 나타내는 위상점은 리우빌 정리를 만족할테지만 나머지 $N-s$개의 입자와의 상호작용이 존재하는 경우에는 우변과 같은 충돌항이 추가된다. |
+ | |||
+ | ==== 의미 ==== | ||
+ | 위 식을 통해 단일 입자의 분포의 시간변화 $\partial\rho_1/ |