Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Next revision | Previous revision | ||
물리:xy모형 [2022/01/19 00:06] – created jiwon | 물리:xy모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Line 4: | Line 4: | ||
$$\beta H = -K\sum_{\langle mn\rangle} \cos(\theta_m-\theta_n)$$ | $$\beta H = -K\sum_{\langle mn\rangle} \cos(\theta_m-\theta_n)$$ | ||
+ | =====저온 전개===== | ||
+ | 머민-바그너 정리에 의하면 2차원 이하에서는 연속적인 대칭성의 자발 대칭 깨짐이 일어날 수 없다. 따라서 2차원 XY모형에서는 유한한 온도에서 장거리 질서가 보이지 않아야 할 것이다. 이를 직접 확인해보자. | ||
+ | |||
+ | 계의 온도가 매우 낮은 상태라면, | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | S =& -\beta H = -K\sum_{\langle ij\rangle} \cos(\theta_i-\theta_j)\\ | ||
+ | \approx& | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 여기서 상수항은 물리에 영향을 미치지 않으므로 무시하고 다음과 같은 푸리에 변환을 취하자. | ||
+ | $$\theta(\mathbf q) = \sum_\mathbf re^{i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf r),\quad \theta(\mathbf r) = \int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}e^{-i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf q)$$ | ||
+ | 여기서 BZ는 첫번째 브릴루앙 영역을 의미한다. 인접한 방향 $\hat\mu=\hat x,\hat y$와 위치 $\mathbf r$을 가지고 위의 작용을 다시 고쳐쓰면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 가 되고, 위에서 소개한 푸리에 변환을 취해주면 첫 번째 항을 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 그리고 두 번째 항의 $\hat x$을 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \sum_{\mathbf r, | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 의 형태로 쓸 수 있으므로 운동량 공간에서 작용을 | ||
+ | $$S = \frac K2\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\left[\sum_{\hat\mu}\left(2-2\cos k_\mu\right)\right]\vert\theta(\mathbf k)\vert^2$$ | ||
+ | 로 쓸 수 있다. | ||
+ | |||
+ | XY모델의 스핀-스핀 상관함수는 | ||
+ | $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r' | ||
+ | 로 정의되고, | ||
+ | $$G(\mathbf r-\mathbf r' | ||
+ | 저온 영역에서는 $k\ll1$ 근처의 기여도가 지배적일 것이므로 $\cos$항을 전개해서 쓰면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 가 되고, 피적분 함수의 점근 거동은 | ||
+ | $$\frac{J_0(x)-1}{x}\approx-\frac1x$$ | ||
+ | 이므로 $kr\gg1$일 때 전파인자는 | ||
+ | $$G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=-\frac{1}{2\pi K}\log(\Lambda r)$$ | ||
+ | 와 같이 쓰여지고, | ||
+ | $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r' | ||
+ | 의 형태를 가진다. 따라서 매우 먼 거리에서 상관함수가 $0$에 가까우므로 장거리 질서가 존재하지는 않지만, 상자성처럼 상관함수가 거리에 따라 지수적으로 감소하지는 않기 때문에 무언가 다른 상이 존재할 가능성이 있다는 것을 짐작할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | /* | ||
======재규격화====== | ======재규격화====== | ||
위 해밀토니안에서 몇가지 변환을 거치면 다음과 같은 Sine-Gordon모형의 꼴과 같아진다. | 위 해밀토니안에서 몇가지 변환을 거치면 다음과 같은 Sine-Gordon모형의 꼴과 같아진다. | ||
$$Z(K,y) = \int [\mathcal D\phi(\mathbf r)] \exp\left[\int d^dr \left\{-\frac12 \vert\nabla\phi\vert^2+2y\cos(2\pi\sqrt K\phi(\mathbf r))\right\}\right]$$ | $$Z(K,y) = \int [\mathcal D\phi(\mathbf r)] \exp\left[\int d^dr \left\{-\frac12 \vert\nabla\phi\vert^2+2y\cos(2\pi\sqrt K\phi(\mathbf r))\right\}\right]$$ | ||
- | 여기서 $y$는 소용돌이의 퓨가시티(vortex fugacity)이다. 지금부터 이를 운동량 껍질 재규격화(Momentum shell RG)방법을 사용해 분석해보고자 한다. 이를 위해 먼저 장 $\phi(\mathbf r)$를 다음 두 항으로 쪼개어 나타내자. | + | 여기서 $y$는 소용돌이의 퓨가시티(vortex fugacity)이다. 지금부터 이를 운동량 껍질 재규격화(Momentum shell RG)방법을 사용해 분석해보고자 한다. 재규격화는 간단히 말해 coarse-graining과 rescaling 이 두 과정으로 이루어지는데 이를 간단히 그림으로 나타내면 다음과 같다. |
+ | {{ : | ||
+ | 아래 계산에서는 축척인자를 $b=e^s$로 둘 것이다. 이를 위해 먼저 장 $\phi(\mathbf r)$를 다음 두 항으로 쪼개어 나타내자. | ||
$$\phi(\mathbf r) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k) | $$\phi(\mathbf r) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k) | ||
= \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{\Lambda/ | = \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{\Lambda/ | ||
+ \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{\Lambda/ | + \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{\Lambda/ | ||
+ | 이렇게 하면 원래의 유효 해밀토니안도 쪼개어 나타낼 수 있다. | ||
+ | $$\Rightarrow \mathcal H[\phi_l, | ||
+ | 여기서 각 항은 | ||
+ | $$\mathcal H_{0, | ||
+ | $$V[\phi_l, | ||
+ | 이다. 우리는 일단 $y$가 작은 영역에 관심이 있으므로 $V[\phi_l, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | e^{-\mathcal H' | ||
+ | &=& e^{-\mathcal H_{0, | ||
+ | \cdot\int \mathcal D\phi_se^{-\mathcal H_{0, | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \Rightarrow\mathcal H' | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이와 같이 재규격화된 유효 해밀토니안을 얻을 것이다. 윗 줄의 마지막 $\log$항은 상호작용 상수의 변화에 아무런 영향도 미치지 못하므로 지금부터 무시하고, | ||
+ | |||
+ | ======1차항 근사====== | ||
+ | 먼저 1차항에 해당하는 $\langle V\rangle_s$를 계산해보고자 한다. $\cos$ 항의 기댓값을 계산하는 것 보다 지수함수의 기댓값은 큐물런트 전개를 사용해서 비교적 쉽게 계산할 수 있기 때문에 삼각함수를 다음과 같은 지수함수의 형태로 변환하고 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \langle V\rangle_s &=& -2y\int d^2r \langle\cos\left(\alpha\phi_l(\mathbf r) + \alpha\phi_s(\mathbf r)\right)\rangle_s\qquad\text{where}\enspace \alpha = 2\pi\sqrt K\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | $\langle\cdot\rangle_s$항을 계산하면 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \log\langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\rangle_s &=& | ||
+ | i\alpha\langle\phi_s(\mathbf r)\rangle_s - \frac12 (i\alpha)^2 \left(\left\langle \phi_s^2(\mathbf r)\right\rangle_s - \langle \phi_s(\mathbf r)\rangle_s^2\right)\\ | ||
+ | &=& \frac12 \alpha^2 \langle \phi_s^2(\mathbf r)\rangle_s\\ | ||
+ | &=& \frac12 \alpha^2 \langle \phi_s(\mathbf 0)\phi_s(\mathbf 0)\rangle_s\\ | ||
+ | &=& \frac12 \alpha^2\int_{\Lambda/ | ||
+ | &=& \frac12 \alpha^2\int_{\Lambda/ | ||
+ | &=& \frac{\alpha^2}{4\pi}\int_{\Lambda/ | ||
+ | &=& \frac{\alpha^2}{4\pi}\log b = -\frac{\alpha^2}{4\pi}s\\ | ||
+ | \Rightarrow \langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\rangle_s & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 를 얻는다. 따라서 $\langle V\rangle_s$는 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \langle V\rangle_s & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 이를 가지고 재규격화된 해밀토니안을 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \Rightarrow\mathcal H' | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 와 같이 쓸 수 있다. 이 다음으로는 축척인자 $b$만큼 줄어든 운동량 공간을 원래대로 돌려놓아야 한다. 이 작업이 위 그림 두번째 화살표에 해당하는 rescaling 과정이다. | ||
+ | */ | ||
+ | |||
+ | =====소용돌이의 자유도===== | ||
+ | 다시 한번, 해밀토니안을 극소점(local minimum) 부근에서 전개하여 2차항까지만 적고 연속 극한을 취하자. | ||
+ | $$H = -J \sum_{\langle ij \rangle} \cos(\phi_i - \phi_j) \approx \frac{1}{2} J \sum_{\langle ij \rangle} (\phi_i - \phi_j)^2 + const. \longrightarrow J \int d\mathbf{r} \left| \nabla \phi(\mathbf{r}) \right|^2$$ | ||
+ | 해밀토니안의 극소값을 주는 해를 $\overline{\phi}(\mathbf{r})$로, | ||
+ | $$\left\{ \begin{array}{l} | ||
+ | \partial \overline{\phi} / \partial x = \partial \bar{\phi}' | ||
+ | \partial \overline{\phi} / \partial y = -\partial \bar{\phi}' | ||
+ | \end{array} \right.$$ | ||
+ | 이 관계식으로부터 | ||
+ | $$\int d\mathbf{r} \left| \nabla \overline\phi(\mathbf{r}) \right|^2 = \int d\mathbf{r} \left| \nabla \bar{\phi}' | ||
+ | 임은 바로 알 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 어떤 영역의 소용돌이값(vorticity) $q$를 다음처럼 정의하자: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | q &=& \frac{1}{2\pi} \oint d\overline{\phi}(\mathbf{r})\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2\pi} \oint (\partial \overline{\phi} / \partial x) dx + (\partial \overline{\phi} / \partial y) dy\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2\pi} \iint \left( -\partial^2 \bar{\phi}' | ||
+ | &=& \frac{1}{2\pi} \iint \left( -\nabla^2 \bar{\phi}' | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 세 번째 줄로 넘어올 때에 [[수학: | ||
+ | $$\rho(\mathbf{r}) = \sum_i q_i \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)$$ | ||
+ | 는 소용돌이 전하 밀도를 의미한다. 전자기학에서 많이 보아왔듯이 이 방정식의 해는 아래의 꼴로 주어지며 | ||
+ | $$\bar{\phi}' | ||
+ | 퍼뜨리개(propagator) $g$는 근사적으로 | ||
+ | $$g(r) \approx \frac{1}{2\pi} \ln \frac{r}{\tau}$$ | ||
+ | 처럼 쓸 수 있다. 여기에서 $\tau$는 관찰 가능한 해상도를 제한하는 차단(cutoff) 거리로서, | ||
+ | |||
+ | 연속극한에서의 해밀토니안을 다시 생각해보면 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \int d\mathbf{r} \left| \nabla \phi (\mathbf{r}) \right|^2 | ||
+ | &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 + \int d\mathbf{r} \left| \nabla \overline{\phi} (\mathbf{r}) \right|^2 + 2\int d\mathbf{r} \nabla \psi \cdot \nabla \overline{\phi}\\ | ||
+ | &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 + \int d\mathbf{r} \left| \nabla \bar{\phi}' | ||
+ | &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 - \int d\mathbf{r} \left( \bar{\phi}' | ||
+ | &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 - \int d\mathbf{r} (-2\pi)^2 \int d\mathbf{r}' | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 이렇게 해서 해밀토니안이 스핀 파의 자유도 $\psi(\mathbf{r})$과 소용돌이의 자유도 $(\left\{ q_i \right\}, \left\{ \mathbf{r}_i \right\})$로 분리되었다. | ||
+ | 세 번째 줄로 넘어올 때에 둘째와 셋째 항에 대해 부분적분을 행했고 표면적분은 0으로 놓았다. 덧붙여 셋째의 교차항은 거의 모든 영역에서 $\nabla^2 \overline{\phi} = 0$인데다가 스핀 파는 $\overline{\phi}$와 독립적인 자유도이기 때문에 전체 공간에서 적분하면 결국 상쇄되어 0이 된다고 보았다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====재규격화===== | ||
+ | ====분배함수==== | ||
+ | 스핀 파의 자유도는 상전이를 만들지 못하므로 소용돌이 부분만을 취하자. 거의 언제나 소용돌이는 단위 전하만을 가져서 $|q|=1$일 것이다. $q=+1$ 전하를 가지는 $n$개의 소용돌이와 $-1$ 전하를 가지는 $n$개의 소용돌이가 존재하는 계를 생각하자. | ||
+ | $$H_{2n} = -\sum_{i \neq j} p_i p_j \ln \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \right|}{\tau}$$ | ||
+ | 으로서 $p_i = \pm p$, 이때 $p \equiv (2\pi J)^{1/ | ||
+ | $$Z = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \exp(-\beta H_{2n})$$ | ||
+ | 으로서 $\kappa \tau^2 = e^{-\beta \mu}$로서 휘산도(fugacity)를 나타내고 $D_k$는 $\mathbf{r}_k$의 적분영역으로서, | ||
+ | |||
+ | 차단길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 늘리면 그러한 기술에서는 거리가 $[\tau, \tau+d\tau)$만큼 떨어져 있었던, 서로 부호가 반대인 소용돌이 쌍이 합쳐지게 될 것이다. $d\tau$가 미소량인 한 그런 쌍은 매우 드물 것이므로 $O(d\tau)$까지만 위 분배함수를 전개할 것이다. 그러면 적분구간을 아래처럼 고칠 수 있다: | ||
+ | $$\int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \approx \int_{D' | ||
+ | $D' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====고리에 대한 적분==== | ||
+ | 분배함수의 적분 중 $\mathbf{r}_i$에 대한 부분은 | ||
+ | $$\int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \exp \left[ 2\beta \left( \sum_k p_i p_k \ln \left| \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k}{\tau} \right| + \sum_k p_j p_k \ln \left| \frac{\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k}{\tau} \right| \right) \right]$$ | ||
+ | 인데, 인접한 소용돌이 쌍의 부호가 서로 반대인 경우가 가장 큰 기여를 할 것이므로 $p_i = -p_j$로 놓을 수 있다. 또 매우 얇은 고리로 적분구간이 제한되므로 $\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j = \vec{\tau}$로 놓자. 그러면 위 적분은 다음처럼 표현된다: | ||
+ | $$\int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \prod_{k} \left| \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k}{\tau} \right|^{2\beta p_i p_k} \left| \frac{\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k}{\tau} \right|^{-2\beta p_i p_k} = \int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \prod_{k} \left( \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k \right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right)^{\beta p_i p_k}$$. | ||
+ | 그런데 대부분의 기여는 $|\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k| \gg \tau$인 영역에서 오기 때문에, 괄호 안의 표현식을 $\tau/ | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k \right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} &=& \frac{\left| (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) + (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)\right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} | ||
+ | = \frac{\left| \vec{\tau} + (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)\right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 그리고 거듭제곱의 표현식을 2차항까지 전개하면 아래처럼 된다. | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \prod_k \left( 1+A\epsilon_k + B\epsilon_k^2 \right)^{n_k} & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 이를 이용해 위의 식을 $\delta_i(j)$에서 적분한다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | && | ||
+ | & | ||
+ | + \frac{1}{2} \sum_{k \neq l} (\beta p_i p_k) (\beta p_i p_l) \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2} \right\}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 여기에서 $\theta$는 $\vec{\tau}$가 어떤 축과 만드는 각도이다. 첫 번째 항을 적분하면 간단히 $2\pi \tau d\tau$를 준다. | ||
+ | |||
+ | $\vec{\tau} = \tau(\cos\theta, | ||
+ | $$\int_0^{2\pi} d\theta \vec{\tau} \cdot \mathbf{A} = 0,$$ | ||
+ | $$\int_0^{2\pi} d\theta (\vec{\tau} \cdot \mathbf{A}) (\vec{\tau} \cdot \mathbf{B}) = \pi \tau^2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}.$$ | ||
+ | 따라서 피적분항의 두 번째 항은 적분에 기여하지 못하고, 세 번째와 네 번째 항은 다음처럼 간단해진다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | && | ||
+ | \tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \sum_k \frac{1}{2} \beta p_i p_k (\beta p_i p_k - 1) \left[ \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right]^2\\ | ||
+ | &=& \tau d\tau \sum_k \beta p_i p_k \frac{2\pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \tau d\tau | ||
+ | \sum_k \frac{1}{2} \beta p_i p_k (\beta p_i p_k - 1) \frac{4 \pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ | ||
+ | &=& \tau d\tau \sum_k \beta^2 p_i^2 p_k^2 \frac{2 \pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ | ||
+ | &=& 2\pi \tau d\tau \times \beta^2 p^4 \sum_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 또한 다섯 번째 항은 마찬가지 방법으로 다음처럼 표현된다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | && | ||
+ | &=& \tau d\tau \sum_{k \neq l} \beta^2 p^2 p_k p_l \frac{2\pi \tau^2 (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2}\\ | ||
+ | &=& 2\pi \tau d\tau \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \frac{\tau^2(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | ====$i$와 $j$를 제외한 소용돌이들 주변으로의 적분==== | ||
+ | $$ 2\pi \tau d\tau \int_{\overline{D}(i, | ||
+ | |||
+ | 첫 번째 항의 적분은 계의 전체 면적 $A$를 준다(제외되는 반경 $\tau$는 작으므로 무시): | ||
+ | $$\int_{\overline{D}(i, | ||
+ | 두 번째 항의 적분은 계의 반경을 $R$이라 했을 때에 $R$이 매우 크다면 마치 $\mathbf{r}_k$가 원점에 있는 것처럼 다음처럼 구해진다: | ||
+ | $$\int_{\overline{D}(i, | ||
+ | 세 번째 항의 적분 역시 마찬가지로 $\tau$가 작고 $R$이 큰 극한에서 행한다. 편의상 $\mathbf{r}_k = (\rho,0)$, $\mathbf{r}_l = (-\rho, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{(r^2-\rho^2)}{(r^2+\rho^2+2\rho r\cos\theta) (r^2+\rho^2-2\rho r\cos\theta)}r d\theta dr | ||
+ | &=& \pi \ln\left[ \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{R^2}{\rho^2} \right) \right]\\ | ||
+ | & | ||
+ | &=& 2\pi \ln\left( \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | 위 결과들을 모두 더하면 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | 2\pi \tau d\tau \left(A + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^4 \sum_k \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k | ||
+ | & | ||
+ | &=& 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | 따라서 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | Z &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}\\ | ||
+ | & | ||
+ | + \sum_{(i, | ||
+ | &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D' | ||
+ | +\sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \sum_{(i, | ||
+ | &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D' | ||
+ | +\sum_{n} \frac{1}{(n+1)!^2} \kappa^{2n+2} \sum_{(i, | ||
+ | &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D' | ||
+ | +\frac{1}{(n+1)^2} \kappa^{2} | ||
+ | & | ||
+ | +\kappa^{2} \int_{D' | ||
+ | &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D' | ||
+ | \left[ 1 +\kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \exp \left[ \kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\ | ||
+ | &=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D' | ||
+ | \exp \left\{ \beta \left[ - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\} e^{-\beta H_{2n}}\\ | ||
+ | &=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D' | ||
+ | \exp \left\{ \beta \left[1 - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\}\\ | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | ====피적분함수의 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경==== | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa^{2n} \exp\left[ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln \tau \right] & | ||
+ | &=& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} \exp \left( \beta \sum_{i \neq j} p_i p_j \frac{d\tau}{\tau} \right) | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 여기에서 $p_i = -p_j$인 인접한 소용돌이 쌍들이 대부분을 기여하므로 $\sum_{i \neq j} p_i p_j \approx -2n p^2$으로 근사하면, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa^{2n} \exp \left( - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 따라서 휘산도의 변화는 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa \tau^2 & | ||
+ | & | ||
+ | &=& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \tau^2 \left(1 + 2 \frac{d\tau}{\tau} \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | ====결과==== | ||
+ | |||
+ | 차단 길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경함에 따라 계의 맺음변수들이 다음처럼 변화한다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \beta p^2 & | ||
+ | \kappa \tau^2 & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 만일 $x \equiv \beta p^2 - 2$와 $y \equiv 2\pi \kappa \tau^2$을 정의한다면 아래처럼 쓸 수 있다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | dx &=& -(x+2)^2 y^2 \frac{d\tau}{\tau}\\ | ||
+ | dy &=& -xy \frac{d\tau}{\tau}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $\lambda \equiv \ln \tau$로 정의하는 것도 일반적이다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dx}{d\lambda} &=& -(x+2)^2 y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $(x, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dx}{d\lambda} &=& -4y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy, | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $x = 2\pi K -2$로 쓸 수도 있으므로 $K$와 $y$에 대해 정리하면 아래의 꼴로 나타나기도 한다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dK^{-1}}{d\lambda} &=& 2\pi y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& (2-2\pi K) y. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * J. M. Kosterlitz, //The critical properties of the two-dimensional xy model//, J. Phys. C: Solid State Phys. **7**, 1046 (1074). | ||
+ | * P. W. Anderson, G. Yuval, and D. R. Hamann, //Exact Results in the Kondo Problem. II. Scaling Theory, Qualitatively Correct Solution, and Some New Results on One-Dimensional Classical Statistical Models//, Phys. Rev. B **1**, 4464 (1970). | ||
+ | * M. Kardar, // |