교차영역(Cross section)

자성체 시료의 특성 중 하나인 감수율을 측정하는 상황을 생각해보자. 이 경우에 전하를 가지지 않고 물질을 거의 “뚫고” 지나갈 정도로 작은 입자를 써야 할 것이다.

왜냐하면 외부 장 h에 대해 시료의 전체 자기장의 변화를 관찰해야 하기 때문이다. (역시, 같은 이유로 h도 작게 걸어주어야 할 것이다.)

이 조건을 만족하는 입자는 중성자가 있다. 실험을 하는 방법에 대한 기술적인 부분에 대해서는 다른 페이지에 서술하도록 하겠다.

만일 시료의 외부 장의 영향하에 바뀐 자기장이 중성자의 궤적을 산란시킨다면 입자를 산란시킨 부분에 대한 서술을 할 수 있을것이다.

먼저 중성자의 상태함수를 파동함수로 기술하자. 이때 $p_i$는 시료를 통과하기 전의 중성자 운동량을 나타내고 $p_f$는 시료를 통과한 후의 운동량을 나타낸다.

그리고 자기장을 만드는 원천은 시료를 이루는 물질의 스핀 분포이기 떄문에 파동함수를 바꾸는 연산자는 스핀 분포와 관련이 있을것이다. 스핀 분포에 대한 연산자를 $\sigma (x)$라고 써주자.

이때 $x$는 스핀을 가지는 구성요소들의 위치이다.

이제 바뀐 운동량에 대한 파동함수의 기대값을 아래와 같이 써보자. note: 결국 바뀐 확률분포의 제곱 평균을 구하는 과정인데 이 진폭이 무엇과 연결되는지 이해해야 함

$$ \int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix} $$꾸 균 이 값의 크기의 제곱을 물질이 가질수 있는 모든 스핀 분포 $\{\sigma (x)\}$에 대해 평균한 값을 구하자.

$$ \Big<\Big|\int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma (x)\}} $$

위 식은 스핀 분포에 대한 기댓값의 제곱 평균이다. 스핀 분포가 잘 정렬될수록 이 값이 커지게 될 텐데 푸리에 변환을 통해 이 값을 운동량 공간에서 본다면 그 의미를 더 명확하게 알 수 있다.