자성체 시료의 특성 중 하나인 감수율을 측정하는 상황을 생각해보자. 이 경우에 전하를 가지지 않고 물질을 거의 “뚫고” 지나갈 정도로 작은 입자를 써야 할 것이다.

왜냐하면 외부 장 h에 대해 시료의 전체 자기장의 변화를 관찰해야 하기 때문이다. (역시, 같은 이유로 h도 작게 걸어주어야 할 것이다.)

이 조건을 만족하는 입자는 중성자가 있다. 실험을 하는 방법에 대한 기술적인 부분에 대해서는 다른 페이지에 서술하도록 하겠다.

만일 시료의 외부 장의 영향하에 바뀐 자기장이 중성자의 궤적을 산란시킨다면 입자를 산란시킨 부분에 대한 서술을 할 수 있을것이다.

먼저 중성자의 상태함수를 파동함수로 기술하자. 이때 $p_i$는 시료를 통과하기 전의 중성자 운동량을 나타내고 $p_f$는 시료를 통과한 후의 운동량을 나타낸다.

그리고 자기장을 만드는 원천은 시료를 이루는 물질의 스핀 분포이기 떄문에 파동함수를 바꾸는 연산자는 스핀 분포와 관련이 있을것이다. 스핀 분포에 대한 연산자를 $\sigma (x)$라고 써주자.

이때 $x$는 스핀을 가지는 구성요소들의 위치이다.

이제 바뀐 운동량에 대한 파동함수의 기대값을 아래와 같이 써보자. note: 결국 바뀐 확률분포의 제곱 평균을 구하는 과정인데 이 진폭이 무엇과 연결되는지 이해해야 함

$$ \int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix} $$

이 값의 크기의 제곱에 대해 물질이 가질수 있는 모든 스핀 분포 $\{\sigma (x)\}$에 대해 평균한 값을 구하자.

$$ \Big<\Big|\int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma (x)\}} $$

위 식은 스핀 분포에 대한 중성자의 파동함수 기댓값의 제곱 평균이다. 스핀의 정렬이 무작위적일수록 산란된 각도가 작을텐데

스핀 분포를 푸리에 공간의 변수로 바꿔서 생각하면 조금 더 이해하기가 쉽다.

$\sigma (x)$에 대한 푸리에 요소를 $\sigma_K$라고 하자. 시료를 단순 입방체라고 한다면 푸리에 변환은 아래와 같다.

$$ \sigma_k = V^{-1/2} \int d^{3}x e^{-ikx} \sigma (x) $$ $$ \sigma (x) = V^{1/2} \sum_{k} e^{ikx} \sigma_k $$

$\sigma (x)$에 대한 표현을 써서 교차영역에 대한 식을 다시 써보자. \begin{equation*} \begin{split} \Gamma_{fi} &\propto V\Big<\Big|\int d^{d}x\sigma_k e^{-i(p_f-p_i)x}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}\\ &\propto V\Big<\Big|\sigma_k \int d^{d}x e^{-i(p_f-p_i)x}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}\\ &\propto V\Big<\Big|\sigma_k\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}, \quad p_f - p_i = k =0 \end{split} \end{equation*}

$k$는 모멘텀 운반자의 개념인데. 운동량의 차이를 말해준다. 2번째 식을 조금 들여다보자.

산란실험에서 관측 가능한 값들은 시료에 들어가는 입자의 운동량과 나오는 운동량을 측정할 수 있을것이다.

이 때 먼저 운동량의 차이 $\Delta p$가 가장 클 때의 통과 후 운동량을 측정하고 이를$p_i$로 두어 이 운동량에 해당하게 중성자를

입사시키면 $k = 0$을 만족시키게 될 것이다. 결국 산란 각도를 크게 흩뜨릴수록 정렬이 잘 되었다라고 설명할 수 있고 이것을 설명하기

위해 입사시키는 중성자의 운동량을 잘 조정해준다면 모멘텀 운반자 값을 0으로 만들어서 최대 피크를 얻을 수 있을 것이다.

실험 데이터를 토대로 할 때 온도가 임계온도에 가까울수록 이 진폭이 커지며 모멘텀 운반자 $k$에 대해

$$\Gamma \propto k^{-2+ \eta} , \quad K \rightarrow 0, \quad T \approx T_c $$

의 결과를 일반적으로 얻는다고 한다. 이때 지수 $\eta$또한 임계지수라고 부른다.

더 나아가서 이 결과는 수학적으로 상관 함수로 설명 될 수 있다.

• MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.