상관함수

임의의 함수 $A(x)$ 가 있을 때 변수 $x \in [a,b]$ 에 대해 $x \ rightarrow x+x_{corr}$ 을 한 함수 $A(x+x_{corr})$ 를

$A(x)$ 에 곱하여 구간에서의 평균을 구하자. 이렇게 얻어진 $x_{corr}$ 의 함수를 $G(x_{corr})$ 이라고 하고 상관함수라고 부른다.

\begin{equation*} \begin{split} G(x_{corr}) &= \frac{\int_{a}^{b} A(x)A(x+x_{corr}) dx}{(b-a)}\\ &= \big<A(x)A(x+x_{corr})\big> \end{split} \end{equation*}

$t\in [0,2\pi]$ 에서 함수 $\cos{t}$에 대한 상관함수를 얻어보자.

\begin{equation*} \begin{split} G(t_{corr}) &= \frac{\int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cos(t+t_{corr})dt }{2\pi}\\ &= \frac{1}{2} \cos(t_{corr}) \end{split} \end{equation*}

얻어진 $G$ 를 잘 보면 $t_{corr}$ 이 $\pi$의 정수배일 때 진폭이 최대 혹은 최소임을 알 수 있다.

이 의미는 주기함수를 $1$주기나 $\farc{1}{2}$주기만큼 옮긴 함수는 한 주기동안의 모양이 같다는 것으로 해석할 수 있다.

다른 예로 주기함수가 아닌 함수의 경우인 $f(x) = x^{2}$ 의 상관함수를 구해보자.

$$G(x_{corr}) = \frac{4y^{2}}{3} + \frac{16}{5} $$