배규호:복소해석에서의_유용한_정리와_삼각함수_계산_정리 [statphys]

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====== 1. De Moivre's Theorem ======

$$\prod_{k=1}^{n} z_{k} = \prod_{k=1}^{n} r_{k} \Big[ \cos{\big(\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}\big)} + i\sin{\big(\sum_{l=1}^{n} \theta_{l}\big)} \Big]$$

만약 $ z_1 = z_2 = \dots = z_n $ 이면 위의 정리는 $z^{n}$ 에 대한 정리가 된다.
$$ $$

===예제 : 곱셈에 대한 항등원( 숫자 1 ) 에 대한 n제곱근===

$$ $$
 임의의 복소수 $z$ 를 $z = re^{i\theta}$ 라고 쓸 수 있다면 숫자 1 은 $e^{2i\pi}$ 라고 쓸 수 있다. 이 때

$$ z^{n} = 1,\: 1 = e^{2i\pi + 2ik\pi} $$ 

을 만족하는 $z$ 들을 항등원의 n제곱근이라고 하자.

z 를 $z = re^{i\theta}$ 라 표현할 때 $ \theta_1 = \dots = \theta_n $ 이고 $ r = 1$ 이므로 De Moivre 정리에 따르면 $\prod_{1}^{n} z = e^{in\theta} $ 이고 $ n\theta = 2i\pi (1+k) $ 이기 때문에 다음의 결과를 얻는다.

$$ z = \exp{(i\frac{2k\pi}{n})}, \: k = 0,1,2\dots,k-1 $$ 



====== Schwartz's Inequality ======

$$\Big|\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\Big| \geq \Big(\sum_{k=1}^{n} |a_{k}^{2}|\Big)\Big(\sum_{k=1}^{n} |b_{k}^{2}|\Big) $$