개요

반교환(anti-commutator) 연산자에 대해 다음처럼 거동하는 변수들에 대한 대수적 규칙들: $$\{ \theta_i, \theta_j \} = \theta_i \theta_j + \theta_j \theta_i = 0.$$

지수함수를 전개했을 때 위의 성질로부터 이차항 이상의 고차항이 모두 사라지고 $\exp(\bar{\theta} \theta) = 1 + \bar{\theta} \theta$.

먼저 아래와 같은 성질은 쉽게 생각할 수 있다: $$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_j = \delta_{ij}.$$ 또 어떤 함수든 기껏해야 변수들에 대해 일차항까지만을 가지는데, $$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_i \theta_j = - \frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_j \theta_i = - \frac{\partial}{\partial \theta_j} \frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_i \theta_j$$ 이다. 이를 간단히 적으면, $$\left\{ \frac{\partial}{\partial \theta_i}, \frac{\partial}{\partial \theta_j} \right\} = 0.$$

적분구간 끝에서의 기여분이 없다면 $$\int d\theta \frac{\partial}{\partial \theta} f(\theta) = 0.$$ 또 적분을 미리 행한다면 $\theta$는 허깨비 변수(dummy variable)가 되어버리므로 $$\frac{\partial}{\partial \theta} \int d\theta f(\theta) = 0.$$ 즉 사실상 적분은 미분과 동일하다: $$\int d\theta = \frac{\partial}{\partial \theta}.$$ 여기에 따라오는 성질로서 다음과 같은 것들이 있다: $$\int d\theta = 0$$ $$\int \theta d\theta = 1.$$

$n\times n$ 행렬 $M$에 대해 $$\det M = \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_2 d\bar{\theta}_2 \ldots d\theta_n d\bar{\theta}_n \exp\left( \sum_{i,j=1}^n \bar{\theta}_i M_{ij} \theta_j \right).$$ $n=2$인 경우를 예로 들면 이렇게 계산한다: \begin{eqnarray*} \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_2 d\bar{\theta}_2 \ldots d\theta_n d\bar{\theta}_n \exp\left( \sum_{i,j=1}^n \bar{\theta}_i M_{ij} \theta_j \right) &=& \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_2 d\bar{\theta}_2 \exp\left( \bar{\theta}_1 M_{11} \theta_1 + \bar{\theta}_1 M_{12} \theta_2 + \bar{\theta}_2 M_{21} \theta_1 + \bar{\theta}_2 M_{22} \theta_2 \right)\\ &=& \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_2 d\bar{\theta}_2 \frac12 \left( \bar{\theta}_1 M_{11} \theta_1 + \bar{\theta}_1 M_{12} \theta_2 + \bar{\theta}_2 M_{21} \theta_1 + \bar{\theta}_2 M_{22} \theta_2 \right)^2\\ &=& \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_2 d\bar{\theta}_2 \frac12 \left( \bar{\theta}_1 M_{11} \theta_1 \bar{\theta}_2 M_{22} \theta_2 + \bar{\theta}_1 M_{12} \theta_2 \bar{\theta}_2 M_{21} \theta_1 + \bar{\theta}_2 M_{21} \theta_1 \bar{\theta}_1 M_{12} \theta_2 + \bar{\theta}_2 M_{22} \theta_2 \bar{\theta}_1 M_{11} \theta_1 \right)\\ &=& \frac{\partial}{\partial\theta_1} \frac{\partial}{\partial\bar{\theta}_1} \frac{\partial}{\partial \theta_2} \frac{\partial}{\partial\bar{\theta}_2} \left( \bar{\theta}_1 M_{11} \theta_1 \bar{\theta}_2 M_{22} \theta_2 + \bar{\theta}_1 M_{12} \theta_2 \bar{\theta}_2 M_{21} \theta_1 \right)\\ &=& \frac{\partial}{\partial\theta_1} \frac{\partial}{\partial\bar{\theta}_1} \frac{\partial}{\partial \theta_2} \frac{\partial}{\partial\bar{\theta}_2} \left( \bar{\theta}_2 \theta_2 \bar{\theta}_1 \theta_1 M_{11}M_{22} - \bar{\theta}_2 \theta_2 \bar{\theta}_1 \theta_1 M_{12} M_{21} \right)\\ &=& M_{11} M_{22} - M_{12} M_{21}. \end{eqnarray*}

반대칭 행렬 $A$에 대해 ($A_{ij}+A_{ji}=0$) $$\text{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!} \int d\theta_{2n} \ldots d\theta_1 \exp\left(\frac12 \sum_{i,j=1}^{2n} \theta_i A_{ij} \theta_j \right)$$ 이며, $\text{Pf}^2(A) = \det A$.