반교환(anti-commutator) 연산자에 대해 다음처럼 거동하는 변수들에 대한 대수적 규칙들: $$\{ \theta_i, \theta_j \} = \theta_i \theta_j + \theta_j \theta_i = 0.$$

지수함수를 전개했을 때 위의 성질로부터 이차항 이상의 고차항이 모두 사라지고 $\exp(\bar{\theta} \theta) = 1 + \bar{\theta} \theta$.

먼저 아래와 같은 성질은 쉽게 생각할 수 있다: $$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_j = \delta_{ij}.$$ 또 어떤 함수든 기껏해야 변수들에 대해 일차항까지만을 가지는데, $$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_i \theta_j = - \frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_j \theta_i = - \frac{\partial}{\partial \theta_j} \frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_i \theta_j$$ 이다. 이를 간단히 적으면, $$\left\{ \frac{\partial}{\partial \theta_i}, \frac{\partial}{\partial \theta_j} \right\} = 0.$$

적분구간 끝에서의 기여분이 없다면 $$\int d\theta \frac{\partial}{\partial \theta} f(\theta) = 0.$$ 또 적분을 미리 행한다면 $\theta$는 허깨비 변수(dummy variable)가 되어버리므로 $$\frac{\partial}{\partial \theta} \int d\theta f(\theta) = 0.$$ 즉 사실상 적분은 미분과 동일하다: $$\int d\theta = \frac{\partial}{\partial \theta}.$$

$n\times n$ 행렬 $M$에 대해 $$\det M = \int d\theta_1 d\bar{\theta}_1 d\theta_1 d\bar{\theta}_1 \ldots d\theta_n d\bar{\theta}_n \exp\left( \sum_{i,j=1}^n \bar{\theta}_i M_{ij} \theta_j \right).$$

반대칭 행렬 $A$에 대해 ($A_{ij}+A_{ji}=0$) $$\text{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!} \int d\theta_{2n} \ldots d\theta_1 \exp\left(\frac12 \sum_{i,j=1}^{2n} \theta_i A_{ij} \theta_j \right)$$ 이며, $\text{Pf}^2(A) = \det A$.

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• Jean Jinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford University Press, Oxford, 1989).
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