정확히 10분 간격으로 오는 버스가 있고, 내가 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 평균 5분일 것이다. 반면 평균 10분 간격의 푸아송 과정으로 도착하는 버스가 있을 때 마찬가지로 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 5분이 아니라 10분이 된다.

버스와 버스 사이의 간격을 $T$라고 부르고 $\rho(T)$가 길이 $(T, T+dT)$인 간격의 비율이라고 하자. 예컨대 푸아송 과정이라면 $\rho(T) = \mu e^{-\mu T}$가 된다.

내가 정류장에 도착했을 때 길이가 $T$인 간격에 놓일 확률을 $p(T)$라고 부르자. 중요한 점은 “길이가 긴 구간은 선택될 확률이 더 높다”는 것이다. 즉 $p(T) \propto T \rho(T)$이다. 규격화 조건 $\int_0^\infty p(T) dT = 1$을 이용하면, $p(T) = \frac{T \rho(T)}{\left< T \right>}$이고 이 때에 $\left< T^n \right> \equiv \int_0^\infty T^n \rho(T) dT$이다.

이제 정류장에서 기다려야 하는 시간 $\tau$의 확률분포 $p(\tau)$를 생각해보자. 이는 한계분포(marginal distribution)의 개념과 베이즈의 정리를 사용해 다음처럼 쓸 수 있다. \begin{eqnarray*} p(\tau) &=& \int_0^\infty p(\tau, T) dT\\ &=& \int_0^\infty p(\tau|T) p(T) dT. \end{eqnarray*} 여기에서 $p(\tau|T)$는 $T$라는 길이의 구간에 도착했다는 전제 하에서 내가 $\tau$만큼을 기다린다는 확률밀도인데, 무작위로 구간의 아무 점이나 고르게 되므로 다음처럼 기술된다: \[ p(\tau|T) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{T} && \text{if }T \ge \tau\\ 0 && \text{otherwise.} \end{array} \right. \] 따라서 종합해보면 대기시간 $\tau$의 확률밀도는 \[ p(\tau) = \int_\tau^\infty \frac{1}{T} \frac{T \rho(T)}{\left< T \right>} dT = \frac{1}{\left< T \right>} \int_\tau^\infty \rho(T) dT \] 이고 $\tau$의 기대값은 \begin{eqnarray*} \overline{\tau} &=& \int_0^\infty \tau p(\tau) d\tau\\ &=& \int_0^\infty d\tau \frac{\tau}{\left< T \right>} \int_\tau^\infty \rho(T) dT\\ &=& \int_0^\infty dT \int_0^T d\tau \frac{\tau}{\left<T \right>} \rho(T) dT\\ &=& \frac{\left<T^2 \right>}{2\left< T \right>}\\ &=& \frac{\left<T\right>}{2} \left( 1 + \frac{\sigma_T^2}{\left<T\right>^2} \right) \end{eqnarray*} 로서 $\sigma_T^2 \equiv \left< T^2 \right> - \left<T \right>^2$이다.

따라서 $\sigma_T^2=0$인 경우에는 $\overline{\tau} = \left<T \right>/2$로서 정해진 간격의 절반만 기다리면 되지만, 푸아송 과정이라면 $\rho(T)$가 지수함수적으로 분포하여 $\left< T \right> = 1/\mu$, $\sigma_T^2 = 1/\mu^2$이므로 $\overline{\tau} = 1/\mu$로서 간격들의 길이 평균과 같아진다.

• http://estebanmoro.org/2009/01/waiting-for-the-bus/
• Wolfgang von der Linden, Volker Dose, and Udo von Toussaint, Bayesian Probability Theory: Applications in the Physical Sciences (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014).