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개요
제어 변수 x와 그에 의존하는 값 F가 존재한다고 해보자. 즉 F=F(x)이다. s=dF/dx를 제어 변수로 하는 G=G(s)를 도입하면서 F(x)가 담고 있던 정보를 그대로 살리고자 한다. 다음 두 조건이 만족될 때 르장드르 변환은 이를 위한 편리한 도구가 된다:
- d2F/dx2이 언제나 양수여서 x와 dF/dx 사이에 일대일 대응이 존재한다.
- x보다 dF/dx를 측정하거나 고려하기가 더 쉽다.
가로축 상의 위치 x에서 F(x)의 접선을 긋고 (그 기울기는 물론 s이다) 이 접선이 y축 (x=0)과 만나는 점을 −G라고 지정하면 F−(−G)x=s 이기 때문에 G=sx−F가 된다. G=G(s)라고 했으므로, 더 자세히 적으면 G(s)=sx(s)−F[x(s)] 이다.
만일 한번 더 르장드르 변환을 하고자 y=dG/ds와 H=H(y)를 도입하여 적어보면, H(y)=ys(y)−G[s(y)] 를 얻는다. 다시 말해 G=sy−H이니까 원래의 식 G=sx−F와 비교해보면 {F,x}↔{H,y} 로서 모든 정보를 유지한 채 제자리로 돌아올 수 있다는 뜻이다.
예
조화 퍼텐셜 U=12k(x−xmin)2가 있고, 원래 그 최소점인 xmin에 입자가 하나 있었다고 해보자. 힘 f가 걸릴 때의 입자의 위치 x를 생각해보면, 방정식 dUdx=k(x−xmin)=f 를 통해 구할 수 있다. 왜냐하면 퍼텐셜에서 비롯되는 힘은 −dU/dx이고 이 힘이 −dU/dx+f=0로 역학적 평형을 이뤄야 하기 때문이다. 위의 식을 x(f)=fk+xmin 으로 고쳐 적을 수도 있을 것이다.
U(x)의 르장드르 변환은 V(f)=fx(f)−U[x(f)]=f(fk+xmin)−12k[(fk+xmin)−xmin]2=f2k+fxmin−12f2k=12f2k+fxmin 이다. 한번 더 변환하면 원래의 식이 얻어지며, 아래의 식 역시 쉽게 확인 가능하다: x(f)=dVdf.
만일 르장드르 변환을 통해 V(f)를 도입하는 대신 U를 f에 대해 씀으로써 U[x(f)]만을 적는다면 xmin이라는 정보는 사라짐에 유의한다.
라플라스 변환과의 연결
엔트로피 S를 볼츠만 상수 kB로 나눈 양을 S라고 하자. 엔트로피의 통계역학적 해석에 의하면 S=lnW(U)인데, W(U)dU란 내부 에너지가 U와 U+dU 사이인 계가 가질 수 있는 위상공간의 부피를 말한다.
분배 함수 Z는 다음처럼 라플라스 변환을 통해 W(U)와 연결된다: Z(β)=∫W(U)e−βUdU. 이 때에 β란 온도 T에 대해 β≡(kBT)−1를 의미한다.
브롬위치 적분을 통해 라플라스 변환의 역변환을 취하면 W(U)=12πi∫CZ(β)eβUdβ 이다. C는 브롬위치 적분의 경로를 말한다.
헬름홀츠 자유 에너지 F에 대해 F≡F/kB를 정의하면 Z(β)=e−F이다. 따라서 W(U)=12πi∫Ce−F+βUdβ 이다.
입자의 수 N이 커지면 F와 U 등은 크기 변수이기 떄문에 O(N)으로 함께 커진다. 따라서 우변은 βU−F의 최대, 즉 β에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다: ∂∂U(βU−F)=0. 달리 말하면 U=∂F∂β가 성립하게 된다.
그리고 위의 브롬위치 적분은 W(U)≈exp[βU−F(β)] 으로 구해져서, S=lnW를 사용하면 F=βU−S, 혹은 더 익숙한 표현으로는 F=U−TS의 결과를 준다.
참고문헌
- R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, Making Sense of the Legendre Transform, Am. J. Phys. 77, 614 (2009), arXiv:0806.1147.