베셀 함수의 라플라스 변환
미분방정식을 통하는 방법
y=J0(x)가 만족하는 베셀 방정식은 x(y″+y)+y′=0이다. 이를 라플라스 변환하면 0=−ddsL[y″+y]+L[y′]=−dds[s2Y(s)+Y(s)−sy(0)−y′(0)]+sY(s)−y(0)=−(1+s2)Y′(s)−sY(s), 이고 이때 Y≡L[y]를 의미한다. 위 미분방정식을 풀면 Y(s)=c√1+s2 을 얻는데 미정계수 c는 다음처럼 구할 수 있다: 0=lims→∞L[y′]=lims→∞[sY−y(0)]=c−1.
직접 적분
베셀 함수의 적분 표현식을 사용한 다음 다중 적분을 시행한다. a>0이고 b>0일 때 ∫∞0e−atJ0(bt)dt=∫∞0e−atdt2π∫π/20cos(btsinϕ)dϕ=2π∫π/20dϕ∫∞0e−atcos(btsinϕ)dt=2π∫π/20aa2+b2sin2ϕdϕ=1√a2+b2.
참고문헌
- Martin Kreh, The Bessel functions (http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.644.640).
- Alexander D. Poularikas, Bessel Functions in The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing (CRC Press, Boca Raton, 1999).