$y=J_0(x)$가 만족하는 베셀 방정식은 $x(y''+y)+y'=0$이다. 이를 라플라스 변환하면 \begin{eqnarray*} 0 &=& -\frac{d}{ds} L[y''+y] + L[y']\\ &=& -\frac{d}{ds} \left[ s^2 Y(s) + Y(s) - sy(0) - y'(0) \right] + sY(s) - y(0)\\ &=& -(1+s^2) Y'(s) - s Y(s), \end{eqnarray*} 이고 이때 $Y \equiv L[y]$를 의미한다. 위 미분방정식을 풀면 \[ Y(s) = \frac{c}{\sqrt{1+s^2}} \] 을 얻는데 미정계수 $c$는 다음처럼 구할 수 있다: \[ 0 = \lim_{s\to \infty} L[y'] = \lim_{s\to \infty} \left[ s Y - y(0) \right] = c-1.\]

베셀 함수의 적분 표현식을 사용한 다음 다중 적분을 시행한다. $a>0$이고 $b>0$일 때 \begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-at} J_0(bt) dt &=& \int_0^\infty e^{-at} dt \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos(bt \sin \phi) d\phi \\ &=& \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^\infty e^{-at} \cos(bt \sin\phi) dt = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{a}{a^2+b^2\sin^2 \phi} d\phi = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{eqnarray*}

• Martin Kreh, The Bessel functions (http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.644.640).
• Alexander D. Poularikas, Bessel Functions in The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing (CRC Press, Boca Raton, 1999).