조건부 확률의 정의로부터 $$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})}. $$ 이 식은 $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 연결지어준다.

분모에 등장하는 것처럼 가능한 $B$의 사건에 대해 더함으로써 얻어지는 확률은 주변(marginal) 확률이라고도 불린다: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}).$$

5개의 공이 담긴 항아리가 있다. 공의 일부는 빨간색, 나머지는 녹색이지만 몇 개가 빨간색인지는 모른다. 확률변수 $X$가 항아리 속 빨간색 공의 갯수라고 하자. $X$의 가능한 값은 $x_i = 0, \ldots, 5$이다. 아무 정보가 없으므로 모든 값들이 동등하게 가능하다고 생각하자. 그러면 사전 확률은 $g(0) = g(1) = \ldots = g(5) = 1/6$이다.

무작위로 공을 하나 골라내자. 확률 변수 $Y$는 빨간 공이 나오면 1이고 아니면 0이다. 그러면 조건부 확률은 $P(Y=1|X=x_i) = i/5$이고 $P(Y=0|X=x_i) = (5-i)/5$이다. 이를 '가능도(likelihood)'라고 부른다. 결합 확률(빨간 공이 $x_i$ 개 있고 내가 빨간 공을 뽑을 확률)은 가능도에 사전 확률을 곱하면 되므로(주변확률이 $1/2$임에 유의한다), 만일 빨간 공이 나왔다고 하면 아래 표처럼 사후 확률을 얻는다. 즉 이것이 빨간 공을 관찰한 후 내가 가지고 있는 $X$에 대한 믿음을 나타낸다.

공을 하나 더 뽑아보자 (빼낸 공을 다시 집어넣지 않는다). 이번에는 녹색 공이 나왔다고 해보자. 앞에서의 사후 확률이 이번에는 사전 확률이 되고 여기에서 갱신되는 확률 분포가 아래 표에 있다.

이렇게 한 번씩 사후 확률을 갱신하는 방법도 있고 두 번의 관찰을 동시에 고려해서 사후 확률을 만드는 방법도 있을 것이다. 이 둘은 정확히 같은 결과를 준다.

큰 모집단에서 $p$라는 비율이 어떤 특징을 가지고 있고 나머지는 가지고 있지 않다고 하자. $n$ 번을 독립적으로 시도해서 그 특징을 가진 사람 $y$ 명을 뽑을 확률은 이항 분포로 주어질 것이다: $$f(y|p) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}.$$ $y$를 고정한 상태에서 $p$가 변화한다고 생각하면 위의 식이 가능도가 된다.

베이즈의 정리를 사용하려면 $p$의 값에 대한 우리의 믿음을 반영하는 사전 확률 $g(p)$가 있어야 한다. 사후 확률은 사전 확률이 가능도를 곱해서 얻어진다: $g(p|y) \propto g(p) \times f(y|p)$. 위의 예에서도 보듯이 분모에 주변확률이 있어야 등호로 쓸 수 있는데 이는 상대적인 비율만을 바꾸어줄 뿐 크게 중요하지 않다.

사전 확률로 베타 함수를 사용한다고 해보자: $$g(\pi; a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} p^{a-1} (1-p)^{b-1}.$$ 이 경우 사후 확률, 즉 해당 특성을 지닌 $y$명을 관찰한 상황에서 $p$의 확률 밀도 분포는 다시 베타 함수 꼴로 주어진다: $$g(\pi |y) = \frac{\Gamma(n+a+b)}{\Gamma(y+a) \Gamma(n-y+b)} p^{a+y-1} (1-p)^{b+n-y-1}.$$

참고로 베타 함수 $B(a,b)$의 평균은 $\mu = \frac{a}{a+b}$이고 표준편차는 $\sigma = \sqrt{\frac{ab}{(a+b)^2 (a+b+1)}}$이다. 이항분포의 경우와 비교해보면, 크기가 $n_{eq} = a+b+1$인 무작위 표본에 대응된다고 해석할 수 있다.

마을에 도박장이 들어서는 데 찬성하는 주민들의 비율 $p$에 대해, 영희와 철수가 각기 믿는 바가 있다고 하자. 영희의 믿음은 평균이 0.2이고 표준편차는 0.08이리라는 것이다. 이 $\mu$와 $\sigma$에 대한 식을 풀어 $a$와 $b$를 구하면 그녀의 믿음을 기술하는 베타 함수 $B(a,b)$를 정할 수 있는데, $a = 4.8$, $b=19.2$이다.

다른 한편, 철수는 최근에 이사를 와서 마을 사정을 잘 모르고, 따라서 어떤 $p$도 선호하지 않는 균일한 사전 확률 분포를 택했다. 이는 $a=b=1$에 해당한다.

그들은 50명의 주민을 골라서 도박장에 대한 의견을 물었다. 그랬더니 $y=12$ 명이 찬성의 뜻을 밝혔다. 그 결과 영희의 사후 확률은 $B(4.8+12, 19.2+38)$이 되었고 철수의 사후 확률은 $B(1+12, 1+38)$이 되었다. 아래 그림에서 보듯, 비록 철수와 영희의 처음 믿음은 사뭇 달랐지만 그들이 도달한 결론은 매우 비슷하다.

확률

네덜란드식 마권

베이지언 자백약

• William M. Bolstad, Introduction to Bayesian Statistics (Wiley, Hoboken, NJ, 2004).