소호츠키-플레멜 공식 (Sokhotski-Plemelj formula)

소호츠키-플레멜 공식은 다음과 같은 일반화된 함수(또는 분포) 사이의 관계이다.

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr \left(\frac{1}{x}\right) \mp i \pi \delta(x) \end{equation}

이때 $\epsilon$은 무한소량 (infinitesimal quantity)이며, $\epsilon > 0$ 이다. 이 항등식은 원점 부근에서 매끄럽고 특이점이 존재하지 않는 (smooth and non-singular) 함수 $f(x)$를 먼저 곱한다음, 원점을 포함하는 $x$ 범위에 걸쳐 적분할 때만 공식적인 의미가 있다. 또한, 전체 실직선에 걸쳐 수행된 적분이 수렴되도록 $f(x) \rightarrow 0$ 이 $x \rightarrow \pm \infty$ 만큼 충분히 빠르다고 가정하며, 나아가 부분적으로 적분시에 발생하는 $\pm\infty$의 모든 표면 항은 소멸되는것으로 가정한다.

위 항등식을 확립하기 위하여 다음 과정을 증명하여야 한다.

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x \pm i\epsilon} = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \mp i \pi f(0) \end{equation}

여기서 코시 주요값(Cauchy principal value) 적분은 다음과 같이 정의된다:

\begin{equation} \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{- \delta} \frac{f(x) dx}{x} + \int_{ \delta}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x}\right\} \end{equation}

$f(x)$는 실수축 근처에서 규칙적이며 $|x| \rightarrow \infty$ 로 사라진다고 가정한다.

참고로 첫번째 식은 다음과 같이 일반화 할 수 있다. \begin{equation} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{1}{x-x_{0}\pm i\epsilon} = \mathrm{Pr} \frac{1}{x - x_0} \mp i\pi\delta(x - x_0), \end{equation}

이때, 코시 주요값은,

\begin{equation} \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x - x_0} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{x_{0} - \delta} \frac{f(x)dx}{x - x_0} + \int-{x_0 + \delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x - x_0} \right\}. \end{equation}

이다.

첫 번째 식의 분수표현 $\frac{1}{x \pm i\epsilon}$으로부터 출발하여 다음과 같은 항등식을 얻어내었다.

\begin{equation} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \frac{1}{x \pm i\epsilon} \frac{x \mp i\epsilon}{x \mp i\epsilon} = \frac{x \mp i\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}, \end{equation}

이때 $\epsilon$ 은 양의 무한소량이다. 따라서, 원점 근처에서 특이점이 존재하지 않고 매끄러운 함수에 대해,

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} \frac{x \mp i\epsilon}{x \mp i\epsilon} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(x \mp i\epsilon)f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \mp i\epsilon\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{align}

와 같이 표현된다. 위 적분의 우측 항의 실수부 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} + \int_{-\delta}^{\delta} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{equation}

이 식의 우측 항 첫 두 적분의 경우 $\epsilon \rightarrow 0$의 극한을 취하는 것이 안정적이다. 오른쪽 항 세번째 적분의 경우, 만약 $\delta$의 값이 충분히 작다면, $|x| < \delta$의 값에 대해 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있다. 따라서,

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{f(x)dx}{x} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \right\} + f(0)\int_{-\delta}^{\delta} \frac{xdx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{equation}

한편,

\begin{equation} \int_{-\delta}^{\delta} \frac{xdx}{x^2 + \epsilon^2} = 0, \end{equation}

일때, 피적분함수는 원점에 대해 대칭적으로 적분되고 있는 $x$의 기함수이므로 다음과 같은 주요값 적분으로 정의된다.

\begin{equation} \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{f(x)dx}{x} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \right\}, \end{equation}

그에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x}. \end{equation}

다음으로 앞서 남겨둔 허수부 적분,

\begin{equation} \mp i\epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \end{equation}

에 대해 고려해 보자. $\epsilon$은 무한소량이므로, 다음 적분에서 유일하고 중요한 기여이며, 이는 $x \simeq 0$에 가까운 적분 영역에서 주요하다.

\begin{equation} \epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \end{equation}

여기서 피적분함수는 $\epsilon^{-2}$와 같이 거동한다. 따라서 다시 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있으며, 이 경우 아래와 같은 계산을 이용하여,

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + \epsilon^2} = \left.\frac{1}{\epsilon} \tan^{-1}(x/\epsilon)\right|_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{\epsilon}. \end{equation}

다음 식을 얻을 수 있다.

\begin{equation} \epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \simeq \epsilon f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + \epsilon^2} = \pi f(0), \end{equation}

따라서 일련의 실수부 및 허수부 적분의 계산을 이용해 아래의 식을 얻었으며,

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} = \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \mp i\pi f(0), \end{equation}

이는 개요의 두 번째 식의 증명이다.

아래 그림에서와 같이, $C$로 표현되는, 복소 평면에서의 적분 경로를 고려해보자.

다시말해 $C$는 $-\infty$ 에서 $-\delta$ 까지의 실수축을 따르는 윤곽선이고, 반경 $\delta$의 반원형 경로 $C_{\delta}$와 $\delta$에서 $\infty$까지의 실수축을 따르는 윤곽선이다. 무한소량 $\delta$는 양수라고 가정한다. 이때,

\begin{equation} \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx + \int_{C_{\delta}} \frac{f(x)}{x}dx, \end{equation}

으로 보여지며, 주요값 적분은 앞선 개요 문단의 세번째 식에서 정의하였다. $\delta \rightarrow 0$의 극한 조건의 경우, 앞선 식의 우측 항 마지막 적분에서 $f(x) \simeq f(0)$을 근사할 수 있다. 윤곽선 $C_{\delta}$가 범위 $0 \leq \theta \leq \pi$에 대해 $x = \delta e^{i\theta}$ 로 매개변수화 될 수 있음을 고려하면 다음과 같이 보여지고,

\begin{equation} \lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{C_{\delta}} \frac{f(x)}{x}dx = f(0)\lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{\pi}^{0} \frac{i\delta e^{i\theta}}{\delta e^{i\theta}}d\theta = -i\pi f(0) \end{equation}

따라서 다음과 같이 나타내어진다.

\begin{equation} \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} - i\pi f(0). \end{equation}

또한 윤곽선 $C$를 $-\infty + i\epsilon$에서 $\infty + i\epsilon$까지 이어지는 직선으로 구성된 윤곽선 $C'$으로 변형하여 위의 식의 좌측 항을 추정할 수 있다. 여기서 $\epsilon$은 양의 무한소이며 $\delta$와 크기 순서가 동일하다. $f(x)$가 실수축 주위의 무한소 근처에서 특이점이 없다고 가정하면, 적분의 값을 바꾸지 않고 윤곽선 $C$를 $C'$로 자유롭게 변형할 수 있다. 따라서,

\begin{equation} \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \int_{-\infty + i\epsilon}^{\infty + i\epsilon} \frac{f(x)}{x}dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(y + i\epsilon)}{y + i\epsilon}dy, \end{equation}

로 보여지고 마지막 단계에서 적분 변수를 $x = y + i\epsilon$으로 치환하였다.

$\epsilon$은 무한소이므로 $\epsilon \rightarrow 0$의 극한을 통해, $f(y + i\epsilon) \simeq f(y)$로 근사가 가능하다. 따라서 적분 변수 $y$를 $x$로 다시 나타내면 다음과 같이 표현된다.

\begin{equation} \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x + i\epsilon}dx. \end{equation}

이 결과를 앞서 보인 $\int_{C} \frac{f(x)}{x}dx$의 식에 대입하면,

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x + i\epsilon}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} - i\pi f(0). \end{equation}

위의 식은 $f(x)$가 $f^{*}(x)$로 치환되어도 유효하므로 결과식에 대해 복소수 켤레를 취할 수 있다. 따라서 마지막 결과는 다음과 같이 보여진다.

\begin{equation} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x \pm i\epsilon}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \mp i\pi f(0), \end{equation}

이는 이전 절에서 보였던 결과와 일치하고, 소호츠키-플레멜 공식의 증명으로 보여진다.

• Howard Haber. (2018, winter) Lecture Note 7 : The Sokhotski-Plemelj Formula, Physics 215 [Lecture Note], Department of Physics, UCSC.