소호츠키-플레멜 공식 (Sokhotski-Plemelj formula)

소호츠키-플레멜 공식은 다음과 같은 일반화된 함수(또는 분포) 사이의 관계이다.

$$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr (\frac{1}{x}) \mp i \pi \delta(x) \end{equation}$$

이때 $\epsilon$은 극소 실수량이며, $\epsilon > 0$ 이다. 이 항등식은 원점 부근에서 매끄럽고 특이점이 존재하지 않는 함수 $f(x)$를 먼저 곱한다음, 원점을 포함하는 $x$ 범위에 걸쳐 적분할 때만 공식적인 의미가 있다. 또한, 전체 실 영역에 걸쳐 수행된 적분이 수렴되도록 $f(x) \rightarrow 0$ 이 $x \rightarrow \pm \infty$ 만큼 충분히 빠르다고 가정하며, 나아가 부분적으로 적분시에 발생하는 $\pm\infty$의 모든 표면 항은 소멸되는것으로 가정한다.

위 항등식을 확립하기 위하여, 우리는 다음 과정을 증명하여야 한다. $$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x \pm i\epsilon} = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \mp i \pi f(0) \end{equation}$$

여기서 코시 주요값 (Cauchy principal value) 적분은 다음과 같이 정의된다:

$$\begin{equation} \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{- \delta} \frac{f(x) dx}{x} + \int_{ \delta}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x}\right\} \end{equation}$$

$f(x)$는 실수축 근처에서 규칙적이며 $|x| \rightarrow \infty$ 로 사라진다고 가정한다.