소호츠키-플레멜 공식 (Sokhotski-Plemelj formula)

소호츠키-플레멜 공식은 다음과 같은 일반화된 함수(또는 분포) 사이의 관계이다.

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr \left(\frac{1}{x}\right) \mp i \pi \delta(x) \end{equation}

이때 $\epsilon$은 무한소량 (infinitesimal quantity)이며, $\epsilon > 0$ 이다. 이 항등식은 원점 부근에서 매끄럽고 특이점이 존재하지 않는 (smooth and non-singular) 함수 $f(x)$를 먼저 곱한다음, 원점을 포함하는 $x$ 범위에 걸쳐 적분할 때만 공식적인 의미가 있다. 또한, 전체 실직선에 걸쳐 수행된 적분이 수렴되도록 $f(x) \rightarrow 0$ 이 $x \rightarrow \pm \infty$ 만큼 충분히 빠르다고 가정하며, 나아가 부분적으로 적분시에 발생하는 $\pm\infty$의 모든 표면 항은 소멸되는것으로 가정한다.

위 항등식을 확립하기 위하여 다음 과정을 증명하여야 한다.

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x \pm i\epsilon} = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \mp i \pi f(0) \end{equation}

여기서 코시 주요값(Cauchy principal value) 적분은 다음과 같이 정의된다:

\begin{equation} \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{- \delta} \frac{f(x) dx}{x} + \int_{ \delta}^{\infty} \frac{f(x) dx}{x}\right\} \end{equation}

$f(x)$는 실수축 근처에서 규칙적이며 $|x| \rightarrow \infty$ 로 사라진다고 가정한다.

참고로 첫번째 식은 다음과 같이 일반화 할 수 있다. \begin{equation} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{1}{x-x_{0}\pm i\epsilon} = \mathrm{Pr} \frac{1}{x - x_0} \mp i\pi\delta(x - x_0), \end{equation}

이때, 코시 주요값은,

\begin{equation} \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x - x_0} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{x_{0} - \delta} \frac{f(x)dx}{x - x_0} + \int-{x_0 + \delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x - x_0} \right\}. \end{equation}

이다.

첫 번째 식의 분수표현 $\frac{1}{x \pm i\epsilon}$으로부터 출발하여 다음과 같은 항등식을 얻어내었다.

\begin{equation} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \frac{1}{x \pm i\epsilon} \frac{x \mp i\epsilon}{x \mp i\epsilon} = \frac{x \mp i\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}, \end{equation}

이때 $\epsilon$ 은 양의 무한소량이다. 따라서, 원점 근처에서 특이점이 존재하지 않고 매끄러운 함수에 대해,

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} \frac{x \mp i\epsilon}{x \mp i\epsilon} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(x \mp i\epsilon)f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \mp i\epsilon\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{align}

와 같이 표현된다. 위 적분의 우측 항의 실수부 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} + \int_{-\delta}^{\delta} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{equation}

이 식의 우측 항 첫 두 적분의 경우 $\epsilon \rightarrow 0$의 극한을 취하는 것이 안정적이다. 오른쪽 항 세번째 적분의 경우, 만약 $\delta$의 값이 충분히 작다면, $|x| < \delta$의 값에 대해 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있다. 따라서,

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{f(x)dx}{x} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \right\} + f(0)\int_{-\delta}^{\delta} \frac{xdx}{x^2 + \epsilon^2}. \end{equation}

한편,

\begin{equation} \int_{-\delta}^{\delta} \frac{xdx}{x^2 + \epsilon^2} = 0, \end{equation}

일때, 피적분함수는 원점에 대해 대칭적으로 적분되고 있는 $x$의 기함수이므로 다음과 같은 주요값 적분으로 정의된다.

\begin{equation} \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \equiv \lim_{\delta \rightarrow 0} \left\{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{f(x)dx}{x} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \right\}, \end{equation}

그에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} = \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x}. \end{equation}

다음으로 앞서 남겨둔 허수부 적분,

\begin{equation} \mp i\epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \end{equation}

에 대해 고려해 보자. $\epsilon$은 무한소량이므로, 다음 적분에서 유일하고 중요한 기여이며, 이는 $x \simeq 0$에 가까운 적분 영역에서 주요하다.

\begin{equation} \epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \end{equation}

여기서 피적분함수는 $\epsilon^{-2}$와 같이 행동한다. 따라서 다시 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있으며, 이 경우 아래와 같은 계산을 이용하여,

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + \epsilon^2} = \left.\frac{1}{\epsilon} \tan^{-1}(x/\epsilon)\right|_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{\epsilon}. \end{equation}

다음 식을 얻을 수 있다.

\begin{equation} \epsilon \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x^2 + \epsilon^2} \simeq \epsilon f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + \epsilon^2} = \pi f(0), \end{equation}

따라서 일련의 실수부 및 허수부 적분의 계산을 이용해 아래의 식을 얻었으며,

\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} = \mathrm{Pr}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x} \mp i\pi f(0), \end{equation}

이는 개요의 두 번째 식의 증명이다.

• Howard Haber. (2018, winter) Lecture Note 7 : The Sokhotski-Plemelj Formula, Physics 215 [Lecture Note], Department of Physics, UCSC.