'순환 행렬'이라 함은, 보통 다음과 같은 꼴을 갖는 행렬을 가리킨다.

$$ C = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & ... & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_0 & c_1 & c_2 & ... \\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 & ... \\ ... \\ c_1 & c_2 & ... & c_{n-1} & c_0 \\ \end{pmatrix} $$

$$\\ $$ 이러한 행렬을 사용하는 일례를 들자면, 고리(ring)와 같은 형태에서 규칙적으로 배열된 입자나 진동자를 다룰 때이다.

각 위치에 놓인 대상을 $j$라는 index로 지정하면, 서로 다른 진동자 $k$로 부터 떨어진 거리는 고리 상의 유클리드 거리(Euclidean distance)로 설명이 되는데, 그 거리를 $r_{jk}$라고 부를 수 있다.

그러한 $r_{jk}$에 대해서 동일한 함수로 구성된 성분을 갖는 행렬을 $A$라고 하면, 그러한 $A$는 위에서 소개한 형태의 순환 행렬임을 알 수 있다.

$$ \\ $$

순환 행렬이 자명하게 갖는 고유 벡터는 다음과 같으며

$$ v^0 = (1,\ 1,\ ..., 1)^T $$

그에 대응되는 고유값은 $c_0 + c_1 + ... + c_{n-1}$이다.

$$\\ $$ 또 다른 고유 벡터는 일반적으로 아래와 같은 '1의 거듭제곱근'을 성분으로 갖는 벡터이다.

$$ v_k = (1,\ \omega_n^k,\ \omega_n^{2k},\ ..., \omega_n^{(n-1)k})^T, \\ \omega = e^{2\pi i / n} $$