임의의 변수 x,y가 있다고 하자. 이 변수들을 다른 변수 s,t로 변환할 때의 야코비언은 다음과 같이 쓸수 있다.

$$J = J(\frac{x,y}{s,t}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(s,t)}}$$

행렬식으로는,

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} \\ \end{vmatrix} $$

으로 나타낼 수 있다. 예를들어, 미소넓이 $dA$에 대해서 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸는 경우,

$$dA = dxdy = |{J}|drd\theta$$

$$J = J(\frac{x,y}{r,\theta}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(r,\theta)}}$$

여기서 직교좌표계와 극좌표계의 관계는

$$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$$ $$dx=dr\cos{\theta}, dy=dr\sin{\theta} + d\theta{r\cos{\theta}}$$

따라서 행렬식에 있는 각 성분들을 계산하면,

$$\frac{\partial{x}}{\partial{r}} = \cos{\theta} \qquad \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} = -r\sin{\theta} $$ $$ \frac{\partial{y}}{\partial{r}} = \sin{\theta} \qquad \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} = r\cos{\theta} $$

이며 행렬식의 값을 계산하면

$$J = \cos{\theta}r\cos{\theta} + r\sin{\theta}\sin{\theta} \\ = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta \\ = r $$

따라서 직교좌표계에서 극좌표의 야코비언은 '$r$'이 된다. 그러므로 극좌표로 미소면적을 바꾸게 되면 $$dA = dxdy = |{J}|dr{d\theta} = rdrd\theta$$

$u,v,w$의 세개의 변수가 있다고 하자. 세 변수에 대한 삼중적분은 $$\iiint{f(u,v,w)}dudvdw$$ 으로 쓸 수 있을 것이다. 이제 $r,s,t$라는 새로운 변수를 도입하도록 하자. 새로운 변수들은 기존의 $u,v,w$와 $$u=u(r,s,t) \qquad v=v(r,s,t) \qquad w=w(r,s,t)$$ 같은 관계를 가진다. 이에 따른 야코비안 행렬식을 쓰면 $$J = J(\frac{u,v,w}{r,s,t}) = \begin{vmatrix} \frac{\partial{u}}{\partial{r}} & \frac{\partial{u}}{\partial{s}} & \frac{\partial{u}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{v}}{\partial{r}} & \frac{\partial{v}}{\partial{s}} & \frac{\partial{v}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{r}} & \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} \end{vmatrix} $$ 으로 쓸 수 있고 이에 따르는 $r,s,t$에 대한 삼중적분은 $$\iiint{f(r,s,t)}|J|drdsdt$$ 2차원의 미소면적을 구한 것과 같이, 직교좌표계에서 구좌표계로 바꾸는 경우의 미소부피를 구해보도록 하자. 미소부피 $dV$는 $$dV = dxdydz = |J|{dr}{d\theta}{d\phi}$$ 이며 직교좌표계와 구좌표의 관계는 $$x=r\sin\theta\cos\phi \qquad y=r\sin\theta\sin\phi \qquad z=r\cos\theta$$ $$dx = dr\sin\theta\cos\phi + d\theta{r}\cos\theta\cos\phi - d\phi{r}\sin\theta\sin\phi \\ dy = dr\sin\theta\sin\phi + d\theta{r}\cos\theta\sin\phi + d\phi{r}\sin\theta\cos\phi \\ dz = dr\cos\theta - d\theta{r}\sin\theta $$ 이므로 야코비언 행렬식을 계산하면 구좌표계로의 야코비언은 $$ J = \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,\phi)}} = \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{r}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\phi}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{r}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\phi}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{r}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\phi}} \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -rsin\theta & 0 \end{vmatrix} \\ = r^2\sin\theta $$ 이며 직교좌표계에서 구좌표계의 야코비언은 $r^2\sin\theta$으로 계산이 된다. 따라서 직교좌표계에서 구좌표계로의 미소부피 dV는 $$ dV = |J|{dr}{d\theta}{d\phi} = r^2\sin\theta{dr}{d\theta}{d\phi} $$

* Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences