임의의 변수 x,y가 있다고 하자. 이 변수들을 다른 변수 s,t로 변환할 때의 야코비언은 다음과 같이 쓸수 있다.

$$J = J(\frac{x,y}{s,t}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(s,t)}}$$

행렬식으로는,

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} \\ \end{vmatrix} $$

으로 나타낼 수 있다. 예를들어, 미소넓이 $dA$에 대해서 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸는 경우,

$$dA = dxdy$$

$$J = J(\frac{x,y}{r,\theta}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(r,\theta)}}$$

여기서 직교좌표계와 극좌표계의 관계는

$$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$$ $$dx=dr\cos{\theta}, dy=dr\sin{\theta} + d\theta{r\cos{\theta}}$$

따라서 행렬식에 있는 각 성분들을 계산하면,

$$\frac{\partial{x}}{\partial{r}} = \cos{\theta}, \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} = -r\sin{\theta} \frac{\partial{y}}{\partial{r}} = \sin{\theta} \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} = r\cos{\theta} $$

이며 행렬식의 값을 계산하면

$$J = \cos{\theta}r\cos{\theta} + r\sin{\theta}\sin{\theta} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta \\ = r $$

그러므로 극좌표로 미소면적을 바꾸게 되면 $$dA = dxdy = |{J}|{d\theta} = rdrd\theta$$