볼츠만 인자 $e^{-E/T}$ 를 생각해보자 이때 $E/T = (\alpha x^{2})/2 $ 라면 분배함수는 아래와 같다.

$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-\frac{\alpha}{2}x^{2}} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} $$

이제 차원을 확장해서 N차원에 대한 가우스 적분을 구해보자.

변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자.

$$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} \alpha_{kl} x_{k} x_{l} $$

분배함수는

$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n}} $$

여기서 $\alpha_{mn}$ 은 $N \times N$ 행렬의 $(m,n)$ 번 째 성분이다. 만약 행렬이 대칭행렬이 아니더라도 더 일반화 하여

지수 위의 식을 아래와 같이 써 줄 수 있다.

$$ \sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{m,n=1} x_{m}(\alpha_{mn} + \alpha_{nm})x_{n} $$

괄호 안에 있는 것은 새로운 행렬을 나타낸다. 이 행렬은 기존의 대칭적이지 않은 행렬을 대칭화하여 쓴 것이기 때문에 명시적으로 대칭적이다.

적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다.

$$\mathcal{O}\mathcal{O}^{T} = I$$

$$\mathcal{O}^{T} \alpha \mathcal{O} = \Lambda$$

$$\Lambda_{nm} = \lambda_{n} \delta_{mn} $$

$$x_{m} = \sum^{N}_{n=1} \mathcal{O}_{mn} y_{n} $$

$$ J = det \frac{\partial{x_{m}}}{\partial{y_{n}}} = det\mathcal{O} = 1 $$

원래의 분배함수에 위와 같은 규칙을 적용하면 대각화된 행렬과 그 고유벡터에 대한 식으로 분배함수를 고쳐서 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-y^{T}\Lambda y} = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m=1} y^{2}_{m}\lambda_{m}} $$

위 계산의 결과는 다음과 같다.

$$\prod^{N}_{k=1} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_{k}}} = \frac{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}{\sqrt{det\alpha}} $$

모든 변수가 섞인 상관함수 $<x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn}>$ 을 구하는 방법중 유용한 방법은 생성함수를 이용하는 것이다.

임의의 $h_{k},k=1,2,...,N$ 에 $x_{k}$를 곱한 항을 지수에 더해주는 함수인 생성 범함수를 아래와 같이 써보자.

$$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (x_{k}\alpha_{kl} x_{l}) + \sum^{N}_{m}h_{m}x_[m} $$

위와 같은 분배함수에서 n차 상관함수를 구하는 방법은 쉽다. 일반적인 생성함수에서 n 차 모멘트를 얻는 것 처럼 $h_{sm}$으로 분배함수를 미분한 후 모든 $h$를 0으로 취하면 n차 상관함수를 얻게 된다.

$n$차 상관함수는

$$\left< x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn} \right> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0}$$

이 계산을 수행하려면 $Z[h]$를 먼저 계산해야 한다. 이것을 하기 위해 $\sum h_{m} x_{m}$ 을 조작하여 자연지수 위의 항을 제곱항 + 상수항 으로 바꿀 것이다. (이 과정을 completing the square 라고 표현한다.)

$$ -\frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} x_{k} \alpha_{kl} x_{l} + \sum^{N}_{m=1} h_{m}x_{m} = -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $$

$h$ 와 $x$ 는 같은 N개의 성분을 가지는 벡터이기 때문에 $(x^{T}h) = \vec{x} \bullet \vec{h} = h^{T}x $ 를 만족한다. 따라서 $h_{m}x_{m}$의 항을 우변과 같이 고쳐쓸 수 있다.

이제 목표는 식을 $(x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch)$ 형태로 쓰는것이다. 식을 전개하고 먼저 구한 $ -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $ 과 비교하여 c를 결정하자. c를 결정하기 편하도록 후자의 식에 $ -2$를 곱해서 보자.

$$ (x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch) = x^{T} \alpha x - h^{T}c^{T}\alpha x - x^{T}\alpha ch + h^{T} c^{T} \alpha c h $$

$$ x^{T}\alpha x -(h^{T}x + x^{T}h) $$

아래의 식을 살리려면 위 식의 네번째 항을 빼주고 $c=\alpha^{-1}$라고 두면 된다. $c$를 결정하고 원래의 식을 정리해주면

$$-\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) = -\frac{1}{2} (x^{T} - h^{T}\alpha^{-1})\alpha (x - \alpha^{-1}h) +\frac{1}{2}h^{T}\alpha^{-1} h $$

그리고 $ y = x - \alpha^{-1}h $ 라고 두고 위의 트릭 중 $J = 1$ 을 이용하면 분배함수를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (y_{k}\alpha_{kl} y_{l}) + \frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$

$$ Z[h] = \frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{det\alpha}} e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$

$$ \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0} = \Big<\prod_{i=1}^{n} x_{si} \Big> $$

$k$ 와 $m$ 번째 변수의 상관함수는 단순히 2번만 미분하면 된다.

$$ \left< x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $$

윅의 정리는 n차 상관함수를 빠르게 전개할때 매우 유용하다. 본론으로 들어가자면 n차 상관함수는 2차 상관함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다.

앞의 생성함수 테크닉을 이용해서 $\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big>$을 전개해보자.

$$ \Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^4{Z[h]}}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} \Big|_{h=0}$$ \begin{equation} \begin{split} \frac{\partial^4{Z[h]}}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} &= (Const) \frac{\partial^4}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}}, \: f(h) = e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}}\\ &= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^3}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{3}}} \Big[\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l} f(h) + \sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k} f(h) \Big] \\ &= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial{h_{1}}\partial{h_{2}}} \Big[(\alpha^{-1})_{43}f(h) + (\alpha^{-1})_{34}f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l}\big)\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{3l}h_{l}\big)f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big)\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big) f(h) \Big] \\ &= ... \\ \end{split} \end{equation}

마지막에 $h=0$을 넣어주면 결과는 다음과 같다.

$$ (Const) \frac{1}{2} \Big[(\alpha^{-1})_{12}(\alpha^{-1})_{34} + (\alpha^{-1})_{21}(\alpha^{-1})_{43} + ... + (\alpha^{-1})_{41}(\alpha^{-1})_{23}\Big] $$

위에서 구한 관계 $ \left<x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $ 와 $(\alpha^{-1})_{km} = (\alpha^{-1})_{mk} $를 이용하여 (두번째 조건은 대칭화 시킨 $\alpha$에 대해 유효하다.) 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

$$\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big> = \left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{3}\right>\left<x_{2}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{4}\right>\left<x_{2}x_{3}\right> $$

일반화된 식은 아래와 같다.

$$\Big<\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Big> = \left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> ... \left<x_{n-1}x_{n}\right> + ... $$

계산할 때 1번째 변수는 언제나 앞에 두고 나머지 변수의 순서를 바꾸면서 계산한다.