아주 큰 양수 $x$에 대해 다음 적분을 계산하려고 한다: $$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

$f(t)$는 $\int_a^b |f(t)| dt <\infty$인 실수 함수이다. 역시 실수 함수인 $\psi(t)$는 한 점 $t=c \in (a,b)$에서 도함수가 0이며 $\psi''(c)\neq 0$이라고 하자. 즉 다음처럼 급수 전개를 적을 수 있다: $$\psi(t) = \psi(c) + \frac{\psi''(c)}{2} (t-c)^2 + \ldots.$$

$\epsilon$이 ($x$에 의존할 수 있는) 적당히 작은 양수라고 하자. 위 적분은 다음처럼 두 부분으로 나누어 적을 수 있다: $$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt = \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt + \int_{(a,b)\backslash (c-\epsilon, c+\epsilon)} f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

후술할 이유로 해서 두 번째 적분은 $1/x$로 크기가 줄어듦으로, 앞의 적분만을 살펴보자. 그러면 그 결과는 \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt\\ &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(c) e^{ix\psi(c)} e^{ix\psi''(c)(t-c)^2/2} dt\\ &\approx& f(c) e^{ix\psi(c)} \sqrt{\frac{2\pi}{-ix\psi''(c)}}. \end{eqnarray*}

두 번째 적분에 대해, 구간 $[a,b]$에서 $\psi'(t)$의 부호가 일정하다고 하자. 일반성을 잃지 않고 $\psi'(t)>0$으로 놓을 수 있다. $\psi$는 $[a,b]$를 $[\psi(a),\psi(b)]$로 옮기는 전단사 함수(bijection)이다. $u = \psi(t)$라고 하면 $dt = \frac{du}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]}$이므로 다음처럼 적게 된다. $$\int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt = \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} du.$$ 부분적분을 시행하면 \begin{eqnarray*} \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} du &=& \left[ \frac{1}{ix} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} \right]_{u = \psi(a)}^{\psi(b)} - \frac{1}{ix} \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{d}{du} \left\{ \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} \right\} e^{ixu}\\ &\approx& \frac{1}{ix} \left[ \frac{f(b)}{\psi'(b)} e^{ix\psi(b)} - \frac{f(a)}{\psi'(a)} e^{ix\psi(a)} \right]. \end{eqnarray*} 첫째 줄 우변의 두 번째 항은 리만-르베그 보조정리(Riemann-Lebesgue lemma)에 의해 $|x|\to\infty$에서 0으로 수렴한다.

$r\ge 0$에서 정의된 0차 베셀 함수를 생각하자: $$J_0(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ir \sin t} dt.$$ $r$이 아주 클 때의 거동에 관심이 있다. $\psi(t) = \sin t$로서 두 개의 극점 $t=\pi/2$와 $t=3\pi/2$를 지니는데, 이 둘을 모두 고려해야 한다. $t=\pi/2$에 대해서는 $$\sqrt{\frac{2\pi}{-ir\psi''(c)}} e^{ir\psi(c)} = \sqrt{\frac{2\pi}{ir}}e^{ir} = \sqrt{\frac{2\pi}{r}}e^{i(r-\pi/4)}$$ 이고, $t=3\pi/2$에 대해서는 $$\sqrt{\frac{2\pi}{-ir\psi''(c)}} e^{ir\psi(c)} = \sqrt{\frac{2\pi}{-ir}}e^{-ir} = \sqrt{\frac{2\pi}{r}}e^{-i(r-\pi/4)}$$ 이므로 이 둘을 더하면 다음 결과를 얻는다: $$J_0(r) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi r}} \cos \left(r - \frac{\pi}{4} \right).$$

• Richard Chapling, Asymptotic Methods.