변수 $x$, $y$, $z$와 이변수 함수 $f(x,y)$를 생각하자. 함수 $f$의 변화량은 $x$가 바뀜으로 인한 변화와 $y$가 바뀜으로 인한 변화로 다음처럼 기술된다. \[ df = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x dy. \]

변수들 사이에 $y=y(x,z)$의 관계가 있다면 마찬가지로 $y$의 변화량을 적을 수 있다. \[ dy = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz. \]

이것을 저 위의 식에 대입하면 $f(x,y) = f\left( x, y(x,z) \right) = f(x,z)$의 변화를 얻게 된다. \begin{eqnarray*} df &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left[ \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \right]\\ &=& \left[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \right] dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz\\ &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)_x dz. \end{eqnarray*} 따라서 다음의 식들을 얻는다. \begin{eqnarray*} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z\\ \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)_x &=& \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x. \end{eqnarray*}

$f(x,z) = z$인 특별한 경우를 생각해보자. 위에서 얻은 두 식 중 앞의 것에 이를 적용해보면 다음과 같다. \[ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_z = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \] 이때 $z$를 고정한 상태에서 미분하고 있으므로 좌변은 $0$과 같다. $\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = 1/ \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y$이므로 식을 정리하면 다음을 얻는다. \[ \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z = -1. \]

열역학_퍼텐셜

• Hardy and Binek, Thermodynamics and Statistical Mechanics (Wiley, 2014).