합성곱의 미분

함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자: $$h(t) = \frac{d}{dt} (f\ast g)(t)$$ 이것의 라플라스 변환은 아래와 같다: $$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(t=0)$$ 여기에서 마지막 항은 곧바로 0이 된다. 따라서 $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(s) - f(0)] \tilde{g}(s) - f(0) \tilde{g}(s)$$ 이고 이를 역변환하면 $$h(t) = \dot{f} \ast g + f(0) g(t).$$

칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분 유도에서 사용된다.