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--- 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:40] – [상호배제가 아닌 사건들] admin
+++ 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 21:15] – [역의 증명] admin
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   * 확률은 0부터 1까지의 값을 가질 수 있다.
   * 확실하게 일어나는 일은 확률 1이다.
-  * 상호배제하는 사건들의 확률은 더한다.
+  * 상호배타적인 사건들의 확률은 더한다.
   * [[수학:확률|베이즈의 정리]]
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-=====상호배제 사건=====
+=====상호배타적인 사건=====
-상호배제하는 사건(즉 동시에 일어날 수 없는 사건) $E_1$과 $E_2$가 있다. $E = E_1 \cup E_2$는 $E_1$ 또는 $E_2$가 일어나는 사건을 의미한다. 각각에 대한 믿음을 $p(E_1)$과 $p(E_2)$, 그리고 $p(E)$라고 하자. 그리고 각각의 경우 내기에 거는 돈은 $p(E_1) S_{E_1}$과 $p(E_2) S_{E_2}$, 그리고 $p(E) S_E$가 될 것이다. 이 때 세 가지 가능한 경우가 있다:
+상호배타적인 사건(즉 동시에 일어날 수 없는 사건) $E_1$과 $E_2$가 있다. $E = E_1 \cup E_2$는 $E_1$ 또는 $E_2$가 일어나는 사건을 의미한다. 각각에 대한 믿음을 $p(E_1)$과 $p(E_2)$, 그리고 $p(E)$라고 하자. 그리고 각각의 경우 내기에 거는 돈은 $p(E_1) S_{E_1}$과 $p(E_2) S_{E_2}$, 그리고 $p(E) S_E$가 될 것이다. 이 때 세 가지 가능한 경우가 있다:
   * $E_1$도 $E_2$도 일어나지 않음. 이 때 노름꾼이 갖게 되는 돈은 $G_{\overline{E}} = -p(E) S_E - p(E_1) S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다.
   * $E_1$이 일어남. 그러면 $G_{E_1} = [1-p(E)] S_E + [1-p(E_1)] S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다.
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 =====확률의 정규화=====
-사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배제 사건이고 이것 아니면 저것임이 확실하므로
+사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배타적인 사건이고 이것 아니면 저것임이 확실하므로
 $$1 = P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E})$$
 이다.
 =====세 번째 규칙을 대체하기=====
-상호배제 사건의 확률들을 더할 수 있다는 세 번째 규칙 대신 정규화 조건을 넣을 수도 있다. 이를 보기 위해 상호배제 사건인 $E_1$과 $E_2$를 고려하고 $E = E_1 \cup E_2$라고 하자. $E_1$과 $E_2$가 모든 가능성을 포괄하므로 정규화 조건에 의해
+상호배타적인 사건의 확률들을 더할 수 있다는 세 번째 규칙 대신 정규화 조건을 넣을 수도 있다. 이를 보기 위해 상호배타적인 사건인 $E_1$과 $E_2$를 고려하고 $E = E_1 \cup E_2$라고 하자. $E_1$과 $E_2$가 모든 가능성을 포괄하므로 정규화 조건에 의해
 $$p(E_1 |E) + p(E_2 |E) = 1$$
 이다. 나아가, $E_1$ 또는 $E_2$가 일어났다면 $E$ 역시 당연히 일어난 것이므로
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 으로 정규화 조건을 얻는다.
-======상호배제가 아닌 사건들======
+======상호배타적이지 않은 사건들======
-두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배제하지 않는다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배제 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다:
+두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배타적이지 않다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배타적인 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다:
 $$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[(A \cap \overline{B}) \cup B].$$
 분배 법칙에 의하면
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 $$p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$
 이다.
+======역의 증명======
+즉 확률의 규칙을 따라 믿음을 형성하는 노름꾼을 만난다면 마권업자가 언제나 그에게 손해를 입히는 것이 불가능함을 보일 수 있다는 것이다. 다음의 두 경우를 증명하면 그 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다.
+=====첫 번째 경우=====
+상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들 $N$ 개에 대해 내기를 건다고 생각하자. 각 사건 $j$에 대해 $S_j$의 판돈이 걸려있는데 노름꾼이 이에 $p_j$의 믿음을 가짐으로써 $p_j S_j$의 돈을 걸고 내기에 참여한다고 하자. 만일 사건 $j$가 일어난다면 노름꾼이 가지게 되는 금액은
+$$G_j = S_j - \sum_{k=1}^N p_k S_k$$
+이다. 전체를 놓고 보면 이 노름꾼이 가지게 될 금액의 기대값은
+$$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k
+= \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$
+이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것은 불가능함을 의미한다.
+=====두 번째 경우=====
+조건부 사건에 대해 내기를 하는 경우를 생각해보자. 앞에서 베이즈의 정리를 논하면서 다음의 결과를 적었다:
+  *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): $$G_{\overline{B}} = -p(B) S_B - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$
+  *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B  - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$
+  *$A$와 $B$가 둘 다 일어날 때 (확률은 $p(A \cap B)$): $$G_{A \cap B} = [1-p(B)] S_B  - [1-p(A|B)] S_{A|B} - [1-p(A\cap B)] S_{A \cap B}$$
+따라서 노름꾼이 전체적으로 기대하는 결과는 다음과 같다:
+$$G = [1-p(B)] G_B + [1-p(A|B)] p(B) G_{A|B} + p(A\cap B) G_{A \cap B}.$$
+위의 식들을 대입하고 정리하면
+$$G = [p(A \cap B) - p(A|B) p(B)] \times \left[ S_B + S_{A|B} -p(B) S_B - p(A\cap B)S_{A \cap B} -p(A|B) S_{A|B} \right]$$
+이므로 베이즈의 정리가 그 값을 0으로 만든다. 다시 말해 언제나 노름꾼이 잃게끔 꾸미는 것은 불가능하다.