Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revisionLast revisionBoth sides next revision | ||
| 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:56] – [첫 번째 경우] admin | 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 21:15] – [역의 증명] admin | ||
|---|---|---|---|
| Line 195: | Line 195: | ||
| ======역의 증명====== | ======역의 증명====== | ||
| - | 다음의 두 경우를 증명하면 | + | 즉 확률의 규칙을 따라 믿음을 형성하는 노름꾼을 만난다면 마권업자가 언제나 그에게 손해를 입히는 것이 불가능함을 보일 수 있다는 것이다. |
| =====첫 번째 경우===== | =====첫 번째 경우===== | ||
| Line 203: | Line 203: | ||
| $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | ||
| = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | ||
| - | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것이 불가능함을 의미한다. | + | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것은 불가능함을 의미한다. |
| =====두 번째 경우===== | =====두 번째 경우===== | ||
| + | 조건부 사건에 대해 내기를 하는 경우를 생각해보자. 앞에서 베이즈의 정리를 논하면서 다음의 결과를 적었다: | ||
| + | *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): | ||
| + | *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | ||
| + | *$A$와 $B$가 둘 다 일어날 때 (확률은 $p(A \cap B)$): $$G_{A \cap B} = [1-p(B)] S_B - [1-p(A|B)] S_{A|B} - [1-p(A\cap B)] S_{A \cap B}$$ | ||
| + | |||
| + | 따라서 노름꾼이 전체적으로 기대하는 결과는 다음과 같다: | ||
| + | $$G = [1-p(B)] G_B + [1-p(A|B)] p(B) G_{A|B} + p(A\cap B) G_{A \cap B}.$$ | ||
| + | 위의 식들을 대입하고 정리하면 | ||
| + | $$G = [p(A \cap B) - p(A|B) p(B)] \times \left[ S_B + S_{A|B} -p(B) S_B - p(A\cap B)S_{A \cap B} -p(A|B) S_{A|B} \right]$$ | ||
| + | 이므로 베이즈의 정리가 그 값을 0으로 만든다. 다시 말해 언제나 노름꾼이 잃게끔 꾸미는 것은 불가능하다. | ||
| + | |||
| + | |||