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| 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 21:11] – [두 번째 경우] admin | 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 21:15] – [역의 증명] admin | ||
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| ======역의 증명====== | ======역의 증명====== | ||
| - | 다음의 두 경우를 증명하면 | + | 즉 확률의 규칙을 따라 믿음을 형성하는 노름꾼을 만난다면 마권업자가 언제나 그에게 손해를 입히는 것이 불가능함을 보일 수 있다는 것이다. |
| =====첫 번째 경우===== | =====첫 번째 경우===== | ||
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| $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | ||
| = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | ||
| - | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것이 불가능함을 의미한다. | + | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것은 불가능함을 의미한다. |
| =====두 번째 경우===== | =====두 번째 경우===== | ||
| - | 조건부 사건 | + | 조건부 사건에 대해 내기를 하는 경우를 생각해보자. 앞에서 베이즈의 정리를 논하면서 다음의 결과를 적었다: |
| *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): | *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): | ||
| *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | ||