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--- 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:49] – admin
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 ======역의 증명======
-다음의 두 경우를 증명하면 이 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다.
+즉 확률의 규칙을 따라 믿음을 형성하는 노름꾼을 만난다면 마권업자가 언제나 그에게 손해를 입히는 것이 불가능함을 보일 수 있다는 것이다. 다음의 두 경우를 증명하면 그 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다.
 =====첫 번째 경우=====
-상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들에 대해 내기를 건다고 생각하자.
+상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들 $N$ 개에 대해 내기를 건다고 생각하자. 각 사건 $j$에 대해 $S_j$의 판돈이 걸려있는데 노름꾼이 이에 $p_j$의 믿음을 가짐으로써 $p_j S_j$의 돈을 걸고 내기에 참여한다고 하자. 만일 사건 $j$가 일어난다면 노름꾼이 가지게 되는 금액은
+$$G_j = S_j - \sum_{k=1}^N p_k S_k$$
+이다. 전체를 놓고 보면 이 노름꾼이 가지게 될 금액의 기대값은
+$$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k
+= \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$
+이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것은 불가능함을 의미한다.
 =====두 번째 경우=====
+조건부 사건에 대해 내기를 하는 경우를 생각해보자. 앞에서 베이즈의 정리를 논하면서 다음의 결과를 적었다:
+  *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): $$G_{\overline{B}} = -p(B) S_B - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$
+  *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B  - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$
+  *$A$와 $B$가 둘 다 일어날 때 (확률은 $p(A \cap B)$): $$G_{A \cap B} = [1-p(B)] S_B  - [1-p(A|B)] S_{A|B} - [1-p(A\cap B)] S_{A \cap B}$$
+따라서 노름꾼이 전체적으로 기대하는 결과는 다음과 같다:
+$$G = [1-p(B)] G_B + [1-p(A|B)] p(B) G_{A|B} + p(A\cap B) G_{A \cap B}.$$
+위의 식들을 대입하고 정리하면
+$$G = [p(A \cap B) - p(A|B) p(B)] \times \left[ S_B + S_{A|B} -p(B) S_B - p(A\cap B)S_{A \cap B} -p(A|B) S_{A|B} \right]$$
+이므로 베이즈의 정리가 그 값을 0으로 만든다. 다시 말해 언제나 노름꾼이 잃게끔 꾸미는 것은 불가능하다.