수학:라플라스의_방법 [statphys]

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======개요======
아래와 같은 적분을 생각하자:
\[ I(\lambda) = \int_a^b f(t) e^{-\lambda g(t)} dt. \]
우리는 $\lambda \to \infty$의 극한에서 이 적분값을 구하는 것이 목적이다. $f$ 및 $g$는 충분히 매끈하다고 가정하며, 특히 $f(t) \neq 0$, 그리고 $g$는 $(a,b)$의 구간 내부에서 최소점 $c$를 가져서 $g'(c)=0$, $g''(c)>0$이라고 가정하자. 위의 적분을 아래처럼 다시 적고
\[ I(\lambda = e^{-\lambda g(c)} \int_a^b f(t) e^{-\lambda [g(t) - g(c)]} dt \]
$\lambda \to \infty$의 극한에서는 대부분의 기여가 $c$ 근처에서 올 것이라는 데 착안한다. 그러므로
\begin{eqnarray*}
I(\lambda) &\approx& e^{\lambda g(c)} \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{-\lambda [g(t) - g(c)]} dt\\
&\approx& e^{\lambda g(c)} f(c) \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} e^{-\lambda [g(t) - g(c)]} dt\\
&\approx& e^{\lambda g(c)} f(c) \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} e^{-\lambda \left[ g'(c)(t-c) + \frac{1}{2} g''(c)(t-c)^2 \right]} dt\\
&=& e^{\lambda g(c)} f(c) \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} e^{-\frac{\lambda}{2} g''(c)(t-c)^2 } dt\\
&\approx& e^{\lambda g(c)} f(c) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\lambda}{2} g''(c)(t-c)^2 } dt\\
&=& e^{\lambda g(c)} f(c) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\lambda}{2} g''(c)s^2 } ds\\
&=& e^{\lambda g(c)} f(c) \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda g''(c)}}.
\end{eqnarray*}

======함께 보기======
[[수학:스털링 근사]]
======참고문헌======
  * https://www.math.unl.edu/~scohn1/8423/intasym1.pdf